複素数について

質問

高校の教科書を見ると、

（１）
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「複素数の四則計算においてはi^2=-1とするほかは、実数の場合と同様で、好感・結合・分配に従って計算する。」
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とありました。
※「^2」は右上につく小さい数字)

また、

（２）
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「一般に、複素数の四則計算は、次のように行われる」
「加法　（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i」
「減法　　（略）」
「乗法　　（略）」
「除法　　（略）」
============================
とありました。

これらは、
「こういうことにしましょう。」
と言いたいだけだろう、と思っています。

（２）では、「一般に、・・・・」という言葉も使っています。
「一般に」と書いてるが、それ以外の計算の仕方は教科書などで見たことが無いような気がします。

また、例えば、
別に、i^2=-1、j^2=-1として、
a+bj+ciを複素数と呼んでもいいのだと思いました。

誰かが、「みんなで、こういう風にしましょう」
として、みんなが納得しなければ成り立たないと思いました。

世の中に一人だけになったら、
この決まりは、一人だけの決まりになってしまいます。

そして、その一人も死んでしまったら、
この決まりも意味が全く無いと思う。

決まりを決めたらそれで、人とそれでやりとりはできると思うので、
単なる言葉みたいなものなのだろうと思いました。

複素数をベクトルとかいうものと対応させれば、
複素数の加減はなんとなくわかるが、
複素数の乗除は、あれは、何の意味があるのかわかりません。
昔に、習ってて、忘れてしまってるだけかもしれませんが、
わかるかた教えてください。

回答No.7

Tacosan

そこを「i = j じゃない」としてなんとかしようってことになるわけですが＞#6, そのままいくと「割り算ができない」という結論になるんじゃなかったかなぁ, 確認していないけど.
で, 「(0 でない数での) 割り算もできるようにしよう」とするともう 1つ k が必要になって, しかも可換ではなくなる, と.

回答No.6

SortaNerd

＞「こういうことにしましょう。」
＞と言いたいだけだろう、と思っています。
はい、全くその通りです。

＞誰かが、「みんなで、こういう風にしましょう」
(中略)
＞この決まりも意味が全く無いと思う。
これもその通りです。

数学というのは
1. 決まり事をいくつか作る。
2. その決まり事から何が導けるか考える。
というゲームです。
勝敗は、
a. 面白いことがたくさん導けた方が勝ち
b. それを導くのに使った決まり事が少ない方が勝ち
です。
＞i^2=-1、j^2=-1として、a+bj+ciを複素数と呼んだ場合
これはi=jになってしまい普通の複素数と変わらないので、決まり事が多い分負けています。

＞一般に
数学用語の「一般に」は日常語の「一般に」とは大きく意味が異なります。
ニュアンスとしては「常に」と似ています。
「常に」と書いてしまったら例外が許されないので念のため「一般に」と書いておくような感じでしょうか。

回答No.5

HANANOKEIJ

複素数は、高校で学習した世代がいたり、いなかったりします。学習指導要領の変更で、出たり引っ込んだり。
複素数は、大学で微分積分を学習して、その後、関数論(複素関数論)を学んだ理学部、工学部、その他理工系の学生、高専の学生には、実数と同じようになります。
朝倉書店「複素数３０講」志賀浩二著。東海大学出版会「虚数の情緒」吉田武著。「オイラーの公式」を調べてみてください。

回答No.4

BASKETMM

一度に出す質問としては、量が多すぎます。いくつかに分けた方がよいですよ。部分的にヒントを書いておきます。

１．数の拡張と演算規則。実数を拡張して虚数を定義したとき、今までなかった数ですから演算規則を決めなくてはなりません。どう決めようと勝手と言えば勝手ですが、出来れば、実数の計算と矛盾しないように決めるのがよいですね。また、虚数あるいは複素数範囲の計算をしていて、結果が一意的に出なくては困りますね。拡張に伴う作業には、このような見方をお勧めします。

２．ｉとｊの話はご自分で思い付かれましたか。このサイトで解説する余裕はありませんが、（紙面の余裕、私の知識の余裕）多元数あるいは四元数で検索してみて下さい。複素数の拡張であって、しかし演算規則が少し異なる「新しい数」が出てきます。余談ですが、書籍の紹介で、四元数、正田建次郎著と出てきたら、現在の皇后陛下の伯父様です。

回答No.3

sanori

こんにちは。

まず、

＞＞＞
また、例えば、
別に、i^2=-1、j^2=-1として、
a+bj+ciを複素数と呼んでもいいのだと思いました。

についてですが、
それではｉとｊは同じになってしまいます。
a+bj+ci = a+bi+ci = a + (b+c)i

＞＞＞
これらは、
「こういうことにしましょう。」
と言いたいだけだろう、と思っています。
・・・・・
誰かが、「みんなで、こういう風にしましょう」
として、みんなが納得しなければ成り立たないと思いました。
世の中に一人だけになったら、
この決まりは、一人だけの決まりになってしまいます。
そして、その一人も死んでしまったら、
この決まりも意味が全く無いと思う。

四則演算、べき乗、そして、平方根・立方根・４乗根・・・
おっしゃるとおり、元々は、誰かが決めたことです。
物の個数を数えるのに、自然数１，２，３・・・が考えられ、
１より１大きい数が２と決められ、
２つ以上のもの個数を会わせるのに足し算が定義され、
足し算の逆として引き算が定義され、
利便性を高めるために、ゼロと負の整数が定義され、
同じ足し算を繰り返すために便利な掛け算が考えられ、
掛け算の逆として割り算が定義され、
割り算の考え方を拡張するために小数や分数が考えられ、
同じ掛け算を繰り返すために便利なべき乗（指数）が考えられ、
といった具合です。

虚数単位ｉも、誰かが決めたことです。
ところが、ｉを使った数学、物理学によって、日頃目にする物理現象が幅広く説明できることがわかってきました。
ですから、ｉは、なくてはならない数です。
現状以上に合理的かつ簡便な虚数、複素数の定義のしかたはありません。
つまり、ｉという数は、もはや、必然性を持った数なのです。

複素数の乗除に関連して、私が過去に回答した文章の一部を抜粋したものを下記に示しますので、ご参考になさってください。

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複素数ｚが　ｚ　＝　ｘ　＋　ｉｙ　で示されるとき、
ｚ　の絶対値は、｜ｚ｜　＝　√（ｘ^2＋ｙ^2）
これは結局、上述した三平方の定理と同じで、
ｘ方向をＸ軸、ｙ方向をＹ軸としたときの、Ｘ－Ｙ座標系（複素平面）での原点からの距離ｒになります。
（ｘ，ｙ）は極座標（ｒ，θ）に変換できます。

では、８の立方根（３乗根）の例を挙げます。
意味不明に見えるでしょうが、とりあえず、以下、眺めてみてください。

８　＝　８　＋　０・ｉ

絶対値ｒは、ｒ　＝　√（８^2＋０^2）　＝　８
また、（説明は省きますが）ｉの係数がゼロで、しかもｘが正の数（＝８）なので、偏角θは
θ　＝　０＋３６０ｎ　＝　３６０ｎ

絶対値ｒ＝８の３乗根は、８^(1/3)　＝　２
だから、求める３乗根の絶対値は２

偏角については、３乗根を求めるということは、θを３等分するということ。
θ／３　＝　１２０ｎ
０≦θ＜３６０の範囲の解は、
０、１２０、２４０
つまり、８の３乗根は、極座標では
（ｒ，θ）＝（２，０）または（２，１２０）または（２，２４０）
と求まりました。
実際に図を描いてみると分かりますが、この３つの解は、
（ｘ，ｙ）＝（２，０）または（－１，√３）または（－１，－√３）
という、正三角形の３つの頂点であり、また、半径２の円周上の３点でもあります。

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１の３乗根って、３つあるんですよね。
・１
・(-1+√3i)/2
・(-1-√3i)/2
これらは全部、３回同じものを掛けると１になります。
次に、これらの根の実数部分ｘと虚数部分ｙをＸＹ座標系にプロットしてみましょう。
すると、
・(1, 0)
・(-1/2, √3i/2)
・(-1/2, -√3i/2)
の３点になりますね。
すると、これら３点は、原点中心で半径１の円を描いたとき、、座標(1,0)のところを始点にして、反時計回りに、
・０周
・３分の１周
・３分の２周
のところにあるんですよね。
あら不思議。

次に、１の４乗根は
・1
・i
・-1
・-i
の４つ。
これもプロット
・(1, 0)
・(0, 1)
・(-1, 0)
・(0, -1)
これらは、原点中心で半径１の円を描いたとき、(1,0)を始点として反時計回りに、
・０周
・４分の１周
・４分の２周
・４分の３周
のところにあります。
あら不思議。

同様のことが５乗根、６乗根・・・でも言えます。
１のｎ乗根は、図解で求めることが出来る、とも言えます。
（現に私は１の３乗根は、図解で覚えています。）

このことを初めて知ったとき、複素数の面白さに取り付かれたものです。

さて、これらが何を意味しているかと言うと、
絶対値１の複素数は、必ず半径１の円周上にあるということ、
（１のｎ乗根の絶対値は１なので、半径１の円周上にきます。）
また、絶対値１の複素数同士を掛け算すると、半径１の円周上をぐるぐる回るということです。
例えば「３分の２周」の３乗は３分の６周、すなわち、２周＝０周と同じこと＝(1,0)の場所

なお、以上のことを、Ｘ－Ｙ座標でなく、ｒ－θ座標で考えれば、オイラーの公式の概念につながります。

回答No.2

kabaokaba

>これらは、
>「こういうことにしましょう。」
>と言いたいだけだろう、と思っています。

そういうことです．「定義」だから．

>（２）では、「一般に、・・・・」という言葉も使っています。
>「一般に」と書いてるが、それ以外の計算の仕方は教科書などで
>見たことが無いような気がします。
これは「一般に」という言葉に引っ張られているだけ．
これも定義だから例外はなし．

>別に、i^2=-1、j^2=-1として、
>a+bj+ciを複素数と呼んでもいいのだと思いました。

これは駄目．もう手遅れ．
例えば，日本語で「犬」と呼ばれる動物を
明日から「猫」といいましょうと言っても手遅れなのと同じ．
「複素数」という言葉自体はもう定着しまくってるからあがいても無駄．
ちなみに，もっとハイレベルになると言葉が一定してなくって，
本によっては同じものでも微妙に呼び方が違うものはあります．

あと発想そのものはいい線かも．
実際，i^2=-1、j^2=-1として、a+bj+ciを考えるようなものは
存在します．実は二つでは足りなくて
k^2=-1というのも考えて，さらにij，jk，ki，ijkなどなどを
うまく定めると
a+bj+ci+dkには意味があることが知られています
（ハミルトンの四元数体）．他にも八元数体なんていう
あと四つ加えたもののありますし，
この手の拡張で「普通の数と似たように扱えるもの」が
どれくらい存在するかなんてことも既知です．

>決まりを決めたらそれで、人とそれでやりとりはできると思うので、
>単なる言葉みたいなものなのだろうと思いました。

これは大正解．数学の本質です．
記述対象がちょっとあれですが，数学は言葉に過ぎません。
数学は誰かが定義を決めて，それにみんなが
賛同するか無視するか，修正するかとかして，
分かってないことを
何とか分かるようにする（記述する）ものです．
言葉を決めないと問題すら記述ができません．

回答No.1

R_Earl

> 複素数の乗除は、あれは、何の意味があるのかわかりません。

複素数をベクトルと対応させれば、
複素数の乗除は、ベクトルの回転に相当します。

長さ1、角度45°のベクトルに相当する複素数と
長さ1、角度30°のベクトルに相当する複素数をかけると、
その計算結果は長さ1、角度75°のベクトルに相当する複素数となります。
45°のベクトルを、+30°回転させるということになります。

逆に割ると、今度は長さ1、角度15°のベクトルに相当する複素数が答えになります。
こちらは45°のベクトルを、-30°回転させるということになります。

ちなみに
長さ4、角度45°のベクトルに相当する複素数と
長さ5、角度30°のベクトルに相当する複素数をかけると、
その計算結果は長さ20、角度75°のベクトルに相当する複素数となります。

長さ10、角度45°のベクトルに相当する複素数から
長さ2、角度30°のベクトルに相当する複素数を割ると、
その計算結果は長さ5、角度15°のベクトルに相当する複素数となります。