ケプラー望遠鏡の接眼レンズの像焦点距離

質問

僕は光学の勉強をしているのですが、接眼レンズの像焦点距離を求める問題でつまづいています。
検索しても答えがわからないので、教えていただけたら嬉しいです。

条件は
「ケプラー式の望遠鏡である」「対物レンズの像焦点距離が1000mm」
「接眼レンズの視角倍率が８倍」「接眼レンズによる像は無限遠に作るものとする」
で、
1、接眼レンズの像焦点距離を求めよ。

小問が他にもあるので不要な条件もあると思います。
本来自力で解くべきなのですが無限遠なのに倍率？焦点距離？？？　
と混乱してしまっています（ーー；）
ご回答よろしくおねがいします。

回答No.2

walkingdic · ベストアンサー

いま２つの接近した星があるとします。
それを肉眼で見た場合を考えます。

星は無限遠方といってもよいくらい離れているので、星からの光はほとんど平行光線です。平行光線で地球全体に降り注いでいるわけです。

では、隣り合った星のそれぞれの光線はどうなっているのかというと、ほんのわずかだけ「平行光線の進む方向」が異なっているのです。

実は私たちが肉眼で見る星はその角度の違いを目のレンズにより網膜上の位置の違いに変換してみているのです。

いま単純にレンズ一枚で考えて見ましょう。レンズに光軸に平行な平行光線を入れると、光軸上の一点に集光します。これを焦点と呼びます。丁度焦点距離の位置になります。

では、もし光軸に対して少し傾いた並行光線が入ったらどうなるでしょうか。
この場合にもやはり焦点距離の位置だけど、光軸からは少しずれた点に結像します。

目の中では網膜がこの焦点位置にあるわけです。

では焦点距離ｆのレンズでは角度－位置の変換はどの程度なのでしょうか。
作図すればわかりますけど、光軸からθ傾いた平行光線は、
ｘ＝ｆ＊ｔａｎ（θ）
の位置に結像します。

では、望遠鏡はどう考えればよいのでしょうか。
拡大する倍率を８倍とすると、角度θを８倍にすればよいのは直ぐに気がつきます。

そこでレンズを二枚使って角度を８倍にすることを考えます。
まず、レンズ１で角度を位置に変換します。

ｘ＝ｆ１＊ｔａｎ（θ）

次に、そのｘの点を焦点距離ｆ２のレンズで拡大します。このときレンズ２、つまり接眼鏡の焦点位置にｘが来るようにすると、ｘの光はレンズ２、接眼鏡を通った後はまた平行光になります。

ｘ＝ｆ２＊ｔａｎ（θ’）

つまり、

ｆ１＊ｔａｎ（θ）＝ｆ２＊ｔａｎ（θ’）

の関係が成立するわけです。題意からθ’＝８θなので、整理すれば、

ｆ２＝ｆ１＊ｔａｎ（θ）／ｔａｎ（８θ）

となるわけです。ただこれだとθにより微妙にｆ２の値が異なります。
ところがθが１より十分小さいとすると、ｔａｎθ＝θと近似できるので、上記は簡単になり、

ｆ２＝ｆ１／８

となります。これがケプラー式望遠鏡の仕組みです。
なお、実際のレンズ設計ではｔａｎθ＝θとなるようにしています。通称そのように設計されたレンズをｆθレンズといいます。
これは結像式が、ｆ＊ｔａｎ（θ）ではなく、ｆ＊θで表記できるレンズというところからネーミングされました。

お礼

とてもよくわかりました。
大変丁寧なご説明、ありがとうございました。

回答No.1

foobar

ケプラー式で接眼レンズの像を無限遠に作るということなので、
1.対物レンズの像焦点と接眼レンズの物焦点を一致させる。
2.対物レンズ像焦点での像高 y1=f1*tanθ1 （f1：焦点距離、θ1:入射光の角度)
3.接眼レンズ物焦点の像高と射出光の角度は同様に y2=f2*tanθ2
4.y1=y2,倍率8倍なので、8*θ1=θ2
5.ついでに、θが十分小さいときには、tanθ≒θと近似できる。
の関係から、計算できるかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
簡潔にまとまっていてうれしいです。
お世話になりました。