- ベストアンサー
「0でない2つのVのベクトルu,vが直交⇒u,vは一次独立」の逆は成り立つ?
F線形空間Vに於いて, 0でない2つのVのベクトルu,vが直交⇒u,vは一次独立。 が成り立つと思います。 逆 u,vが一次独立⇒u,vは直交。 は一般に成り立つのでしょうか? 成り立たないならばどんな反例がありますでしょうか?
- HarukaIgaw
- お礼率71% (64/89)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
例えば(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)は基底をなしますね。 要するに、斜交座標が作れれば一次独立になるわけです。 直交座標は斜交座標の特別なものなので、 直交することは一次独立であることの十分条件。
その他の回答 (1)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
一次独立な二つのベクトルを普通に想像すれば明らかに成立しませんね。
お礼
有難うございます。 例えばR^3で一次独立だか直交でない2つのベクトルの例ってどのようなものが挙げられますでしょうか?
関連するQ&A
- 基底ベクトル 標準基底 正規直交基底 基本ベクトル
基底ベクトルについて質問させて下さい。 基底の定義は、 V（Vは体K上の線形空間とする）のVの元であるベクトルの組｛v1,v2,v3,・・・vn｝が、 線形結合で表され、v1,v2,v3,・・・vnがそれぞれ一次独立である場合を基底という。 基底の数は無数に存在する。基底を構成するベクトルを基底ベクトルと呼ぶ。 例えばR^2の基底は、 （1,0），（0,1）や（1,0），（1,1）などである。 以上のように理解しています。 ここまでで、間違いはありますでしょうか？ R^2における基底で、 （1,0），（0,1）は特に標準基底、正規直交基底などと呼ばれます。 また、基本ベクトルと呼ばれることもあります。 このR^2における（1,0），（0,1）は一般的にはどのように呼ばれる のでしょうか？ 基本ベクトルと呼ぶのは、あまり一般的ではないでしょうか？ 標準基底・正規直交基底と呼ぶ方が一般的なのでしょうか？ 分野によって使われる言葉も違うと思いますが、ご教示下さい。 また、単位ベクトルについても教えて下さい。 単位ベクトルの定義は、ベクトルの長さ（ノルム）が1になるベクトルと理解しています。 （1,0）や（1,0,0），（0,1,0）は単位ベクトルですが、 （-1,0,0）もノルムが1のベクトルになると思います。 （-1,0,0）も単位ベクトルと言って良いのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間ベクトルと線形独立の条件？
ベクトルの成分の条件がわからないので質問します。 uべクトルを→uと書きます。また内積の記号は・を使います。お願いします。 xyz空間の点Pを通り、2つの空間ベクトル→u,→vに直交する直線を求めよ。 解答、P(a_1,a_2,a_3)、→u(u_1,u_2,u_3)、→v(v_1,v_2,v_3)としましょう。求める直線の方向ベクトル、つまり直線と同じ向きを向いたベクトルの1つを、 →w(w_1,w_2,w_3)とおきます。すると→wと→u、→vと直交するので、 →w・→u=→w・→v=0が成り立ちます。これを成分で表すと、 w_1u_1+w_2u_2+w_3u_3=0・・・(1) w_1v_1+w_2v_2+w_3v_3=0・・・(2)ここからがわからないところです。 いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。これは平面ベクトルで →u(u_1,u_2)、→v(v_1,v_2)が線形独立であるための必要十分条件なので、空間ベクトルでつかっていいとは思えません。本では、すると(1)*v_2-(2)*u_2を計算して、w_1=-(u_3v_2-u2v_3)*w_3/(u_1v_2-u_2v_1)。同様に(1)*v_1-(2)*u_1より w_2=-(u_3v_1-u1v_3)*w_3/(u_2v_1-u_1v_2)がえられ、そこで、w_3=u_1v_2-u_2v_1とすると、 →w=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)と方向ベクトルを求めています。 いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。なぜこのような条件がつけれるのか説明してください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル空間の生成系と線形独立
ベクトル空間の生成系と線形独立の問題がわかりません。 Vをベクトル空間とし、ｘ1,ｘ2,…,ｘｎ∈VはVの生成系であるとする。これらｎ個のベクトルｘ1,ｘ2,…,ｘｎから任意の１個を取り除いた残りのｎ－１個のベクトルはVの生成系をなさないとする。このとき、ｘ1,ｘ2,…,ｘｎは線形独立であることを示せ。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 直交ベクトル
4項列ベクトルa,bによって張られる次のようなベクトル空間Vを考える V = {v | v = αa+βb, α,β∈R} a,bはVの基底ベクトルである。 いま、Vの別の基底ベクトルx,yをxとyが直交するように取りたい。 x=aとしたとき、yはどのようになるか答えよ。 a= ( 2,1,-2,0 ) b= ( 1 ,-1 ,-1 ,1 ) ↑横に書いてありますがどちらも縦並び４行です。 上記の問題ですが解く方法がわかりません。 直交系なので正規直交系を使うのかなと考えてみましたが問題の種類が少し違うみたいなので。 どなたかご教授してくださると助かります。 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 三次元空間上でベクトルが一次独立であるための条件
三次元空間上でベクトルが一次独立であるための条件 なんとなく気になったのですがご教授お願いします。三次元空間に存在する2つの直交するベクトルは一次独立なのでしょうか？ 3つの直交するベクトルの場合もお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規直交基底の存在性
計量ベクトル空間の正規直交基底の存在性についてです． 証明の手順は以下のようにやろうと考えています． 計量ベクトル空間V，dimV=n ⇒線形独立な集合Aが存在する(1) ⇒Vの基底E:={ei}(i=1,2,...n)が存在する(2) （Aにいくつかベクトルを足すことで構成する） ⇒Vに正規直交系E':={ei'}}(i=1,2,...n)が存在する(3) （Eにシュミットの直交化法を施す） ⇒E'はVの基底である(4) ⇒E'はVの正規直交基底である(5) (1)⇒(2)⇒(3)は示せるのですが， (3)⇒(4)が示せません． どなたか，アドバイスなどよろしくお願いいたします．
- 締切済み
- 数学・算数
- 一本のベクトルに直交するベクトルについて
あじぽんと申します。質問があります。 ３次元空間にベクトルＡが一本だけあるとします。 さらにベクトルＡに直交するベクトルがいくつもあるとします。 ベクトルＡの座標がわかっている時に、 ベクトルＡに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの直交について
括弧付けたやつはベクトルだと思ってください ｄ(ｒ)=(eｘ)ｄｘ+(ey)dy+(ez)dz を曲線座標で表したい。一般の座標を、u1,u2,u3とすると、デカルト座標ｘ、ｙ、ｚはそれらの関数で表せるから d(ｒ)=｛ラウンド(ｘ)/ラウンドu1｝du1+｛ラウンド(ｘ)/ラウンドu2｝du2+｛ラウンド(ｘ)/ラウンドu3｝du3 で表せる。 これを ｄ(x)=(a1)du1+(a2)du2+(a3)du3で表すと、一般に(ai)は直交しないと書いてるんですが、これがよくわかりません。 (ｒ)=(x,y)で２次元極座標で表したら、(a1)、(a2)って直交しませんか？ ただ、単にこの曲線座標が特殊で、直交するだけですかね？ もしそうなら、直交しない曲線座標のとり方など教えてもらいたいです。 非常に分かりにくい書き方ですみませんが、直交しないというのを教えてもらいたいです。 あと、ラウンド記号とベクトルに打ち方もわかりません。。。 お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル・空間の直交
N次元空間の直交というと図では描けないのでイメージしにくいのですが 2次元空間の直交というのはベクトルの直交と同じことですか？ この場合 ↑→ のように単純に空間同士の角度が90°ということでいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
即レス有難うございます。 納得致しました。