線型独立と生成系の関係

質問

n次元ベクトル空間Vのベクトルv1,....vnについて、

v1,...vnが線型独立であることと

Ｖ＝＜v1,....vn＞であることは同値

だとあるんですが、なぜなのかよく分かりません。
もし当たり前のことでしたら、申し訳ないのですが理由を教えて（証明でもいいです）いただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

itukadarekato · ベストアンサー

>解答していただきありがとうございます。
せっかく書いていただいたのですが、Ｖ＝＜v1,....vn＞はＶのすべてのベクトルがv1,....vnの線型結合になっている（Ｖの生成系）という事を表現していました。、
私の説明不足のせいで申し訳ありません。
Ｖ＝＜v1,....vn＞が上記の条件の場合の理由を教えていただけるとありがたいです。

同じことです(笑)
確認したのは記号が説明なく出てきたからです

貴方の式は
Ｖ＝＜v1,....vn＞　となっていますね
これは、v1,....vnが基底ということです
空間の次元がnでv1,....vnの1次結合の全体がVということです

このとき、何故v1,....vn　が1次独立になるか
少し補足しておきましょう

v1,....vn　が1次独立でなければ
この中の1次独立なものは
v1,....vr (r<n)
となってしまいます
めんどうだから最初のr個が1次独立としました
v(r+1),....vnはv1,....vrの1次結合でかけます

空間の次元はnですから
nこまで1次独立なものを増やせます
v1,....vr,　u(r+1),....un
これが基底になります
u(r+1),....un
はv1,....vr の1次結合では書けません
つまり
v1,....vn　の1次結合でも書けません
これは
Ｖ＝＜v1,....vn＞　に矛盾するでしょ

お礼

ありがとうございます！！
とても分かりやすく、すぐに理解できました。

回答No.1

itukadarekato

Ｖ＝＜v1,....vn＞　という記述はv1,...vnが基底であることと理解します

簡単に2次元で説明します

R^2（平面）で通常は、v1=(1,0),v2=(0,1)を基底として使用します

＜v1,v2＞が基底であるとは貴方が書かれた1次独立であることと
どのようなv=(x,y)もv1,v2の1次結合でかけることです。つまり

　v=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=xv1+yv2

と書けます

普通はこの基底(標準基底)を使うのが便利なのですが
たとえば、u1=(2,3)とu2=(0,2)を使うこともできます
この2つも1次独立で
どのようなv=(x,y)もu1,u2の1次結合でかけます。
これもR^2の基底です

つまり、基底は1つではありません

R^2では、2つのベクトルが1次独立であれば基底になります。
ベクトル空間Vでは、1次独立になれるベクトルの最大数nが決まっています。
これを空間の次元といいます。
このとき、n個のベクトルが1次独立なら自動的に基底になります。
ただし、有限次元の空間に話を限定しています
たとえばR^2の次元は2です
この内容の詳細は線形代数の本ならどの本にものっているはずです

あなたの例は空間の次元がnですから
n個の1次独立なベクトルは基底になります。
また、基底は当然1次独立です

お礼

解答していただきありがとうございます。
せっかく書いていただいたのですが、Ｖ＝＜v1,....vn＞はＶのすべてのベクトルがv1,....vnの線型結合になっている（Ｖの生成系）という事を表現していました。、
私の説明不足のせいで申し訳ありません。
Ｖ＝＜v1,....vn＞が上記の条件の場合の理由を教えていただけるとありがたいです。