自然対数log(GNP)の意味とは？成長率の表し方について解説します

質問

• 自然対数log(GNP)は経済学でよく使われますが、その意味を理解していません。自然対数は数学的な計算方法であり、GNPの成長率を表すために用いられます。
• 例えば、昭和45年の日本のGNPは73.19兆円で、log(GNP)=4.293となります。これは自然対数の底eを底とする指数となっており、その値は73.19という意味です。
• 一般的には、log(GNP)を見るときにはGNPの成長率として解釈されます。例えば、昭和45年のGNPが73.19兆円で、昭和46年のGNPが80.59兆円の場合、log(GNP)の差から成長率を求めることができます。ただし、log(GNP)そのものが成長率ではなく、指数としての意味を持っています。

回答No.4

go272

一般にGNPをはじめとするマクロ経済時系列は上昇トレンドを持っています。
グラフを見ると明らかでしょうし、経済は成長しているんだから当たり前と言えば当たり前です。
この上昇を説明するときに線形の（直線の）トレンドと見るよりは、
指数的な、毎期ごとに定率で増えていくとみた方が自然です。
こう考えるなら、GNPについて第t期の値は

GNP[t]＝A*exp{b*t}…(1)

と表せます。(exp{x}は「eのx乗」）Aは初期値みたいなものです。ここで

dGNP[t]/dt=b*A*exp{b*t}=b*GNP[t]

となるのでGNPは毎期ごとにbづつ成長していくことになります。
瞬間のtについて考えたはずなのに、毎期ごとの成長率になるのは不思議な感じがしますが、
簡単に考えるなら、dGNP[t]っていうのが微小なtの変化に対するGNPの変化であり、
それを微小なtの変化で割っているのでtの単位当たりの変化になります。
(1)に対数をとると

lnGNP[t]=lnA+b*t

となります。昭和45,46年で考えてみましょう。

lnGNP[45]=lnA+b*45=4.293
lnGNP[46]=lnA+b*46=4.389
lnGNP[46]-lnGNP[45]=b=0.096

つまり、この解釈だと4.2という数字は全部こみこみなのです。
そのため4.2と10％がよくわからなくなったのだと思います。

上昇トレンドについてもうひとつの考え方があります。
その最も簡単な例は

Y[t]=Y[t-1]+A…(2)

と表されます。（前の値に値を足していくという考え方）
上の議論と同じように経済は指数的に成長すると考えられるので対数をとるんですが、
ここではラグオペレータとかいう作用素をかませて計算します。
説明なしで結果をかくと

lnY[t]=lnY[t-1]+lnA

先ほどと同じ例を使えば

lnGNP[46]=lnGNP[45]+lnA
lnGNP[46]-lnGNP[45]=lnA

となります。ここで,
A.No2さんが書いて下さった近似をつかうと左辺が成長率となり、
これを計算すると0.09になります。
実際には、経済時系列はこっちで考えた方がいいというようなことが言われています。
[たとえば Nelson and Plosser(1982)]

説明をなるべく簡潔にするためにかなり重要な部分も省いています。
あくまでも考え方だけということにしておいてください。