∫[-1 to 1]f(x)dα(x)の値を求めるには?まず何をすれば

質問

こんにちは。皆様どうか宜しくお願い致します。
下記の問題はどのような手順で解けばいいのかわからず困っています。

[問]∫[-1 to 1]f(x)dα(x)の値を求めよ。但し,
fは[-1,1]で有界で0で連続。そしてαは
α(x)=
-1 (x<0の時)
0 (x=0の時)
1 (x>0の時)
で与えられるものとする。

で正解は2f(0)となっているですがどのようにして計算すればいいのでしょうか?

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

>どのようにして計算すればいいのでしょうか?
断りもなく、この積分が出てきたのですか。
積分は、リーマン積分かルベーグ積分が一般的なので、
それ以外の積分は、断りが入るか事前に何らの予備知識を
与えられると思いますが。

>∫[-1 to 1]f(x)dα(x)
Riemann-stiltjes積分

[-1 to 1]の任意の分割
Δ：(-1=)x_0<x_1<…x_n(=1)
をあたえ
x_(i-1)<∀ξ_i<x_iについて、
Σ[i=1,n]f(ξ_i)[α(x_i)-α{x_(i-1)}]
がある値に収束する場合、この値を∫[-1 to 1]f(x)dα(x)と定義する。

この事例では、α(x)はx=0の近傍でのみ値が変化する関数なので、
かなり、直感的な表現ですが、
α(+0)=lim[x→+0]α(x),α(-0)=lim[x→-0]α(x)
f(+0)=lim[x→+0]f(x),f(-0)=lim[x→-0]f(x)
とおくと、
>fは[-1,1]で有界で0で連続
だから、f(+0)=f(-0)=f(0)

>∫[-1 to 1]f(x)dα(x)
={α(0)-α(-0)}f(-0)+{α(+0)-α(0)}f(+0)
={0-(-1)}f(0)+{1-0}f(0)
=2f(0)

用途を確率論に割り切って、大雑把に表現すれば
離散型の確率変数に従う分布の平均・分散・その他母数
を求める際に、連続型と統一表記を行う事が出来る。
…と、考える事も可能です。

お礼

どうもありがうございます。
難しいんですね。でもお蔭様で解けました。
定義をしっかりと憶えて置きます。

回答No.2

noname#57316

α(x) は、ステップ函数であるので、
dα(x)={dα(x)/dx}・dx とすると
εを正の数で、0に極めて近い数として
dα(x)/dx=(x/|x|)・δ(|x|-ε) と表わせる。

α(x)→-1 のとき、x→-ε
α(x)=0　のとき、x=0
α(x)→1 のとき、x→+ε

∴　∫[-1 to 1]f(x)dα(x)＝∫[-ε to +ε]f(x)・(x/|x|)・δ(|x|-ε)dx
=∫[-ε to -0]f(x)・(x/|x|)・δ(|x|-ε)dx+∫[+0 to +ε]f(x)・(x/|x|)・δ(|x|-ε)dx
=∫[+0 to +ε]f(x)・δ(x-ε)dx-∫[-ε to -0]f(x)・δ(-x-ε)dx
=f(ε)+f(-ε)

limit |ε|→0 の時、上の積分は、f(0)+f(0)=2f(0)

お礼

どうもありがうございます。
難しいんですね。でもお蔭様で解けました。
定義をしっかりと憶えて置きます。