統計

質問

N:固定数値
Ｎに対して下記式の平均はＮとない指数乱数というのらしいが

=-N*LN(RAND())

なぜ平均がＮとなるのでしょうか。
不思議です。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund と申します．

taktta さんが
> 範囲が０から１ですから
と書かれているところを見ると，エクセルの話ですよね．
Ｃの rand だと違うものになりますから．
はじめ，ちょっと「ん？」と思ってしまいました．

grothendieck さんの回答がありますので，蛇足の補足です．

ln(x) は x→0 で発散しますから，
x が 0 から 1 までの乱数とすると x=0 付近からの影響で
平均値 <-N ln(x)> が一見発散しそうに思えます．
実はそうではないというのが面白いところです．

もっと簡単にやるなら
(1)　　<-N ln(x)> = ∫{0→1} (-N ln(x)) dx
　　　　　　　　　= -N[- x + x ln(x)]_0^1
　　　　　　　　　= N
でもよいわけです(『_』は下付，『^』は上付)．
本来は被積分関数に x の分布関数がかかるのですが，
今は 0～1 の一様分布ですから分布関数は 1 です．

grothendieck さんの計算は
(2)　　y = -N ln(x)
として y の分布関数
(3)　　f(y;N) = (1/N) exp(-y/N)
を求め(0<y<∞)
(4)　　<y> = ∫{0→∞} y f(y;N) dy
を計算したものです．
(1)で，置換積分で変数を x から y にすれば
(5)　　<-N ln(x)> = ∫{∞→0} y (dx/dy) dy
となるわけですが，変換係数の
(6)　　dx/dy = -(1/N) exp(-y/N)
の符号を変えたものが grothendieck さんの |dx/dy| = (1/N) exp(-y/N)，
あるいは(3)の f(y;N) に他なりません．
つまり，(5)は
(7)　　<-N ln(x)> = ∫{0→∞} y f(y;N) dy
です．
符号を変えたのは f(y;N)>0 にするのと，積分の方向を自然にするためです．

x で見ると分布は 0 から 1 までの一様分布となっていますが，
y で見ると 0 から∞までの f(y;N) の分布になっているというわけです．
f(y;N) は指数分布関数と呼ばれています．
N の代わりに 1/λ などと表現することが多いようです．

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N は単に ln(x) の値を N 倍しているだけですから，
-N*ln(x) の平均値が(存在するならば) N に比例することは自明です．

> この積分はｄｙで積分していますがそのｙの範囲はどういうことになるのでせうか。
上に述べたとおりです．

> ∫y exp(-y/N) dy ＝Ｎの２乗の証明をお願いします。
部分積分一発でできますのでお試し下さい．

お礼

ていねいな説明でよく理解できました。
感謝いたします。

回答No.2

grothendieck

他の回答者にお願いしてください

補足

x=
の範囲が０から１ですからｙ＝+無限大から０ですよね。

回答No.1

grothendieck

ｙ = -N*ln(x)

としてyの微小区間Δｙに対応するｘの区間の大きさを求めると

　Δx = ｜dx/dy｜Δｙ = (1/N) exp(-y/N) Δｙ

x は一様乱数なので、これがｙがΔｙの中に入る確率です。

　yの平均 = (1/N)∫y exp(-y/N) dy = N

このサイトの回答者(siegmund先生を除く)は大したことはないですね

お礼

どうもありがとうございます。
∫y exp(-y/N) dy ＝Ｎの２乗の証明をお願いします。

補足

yの平均 = (1/N)∫y exp(-y/N) dy = N
この積分はｄｙで積分していますがそのｙの範囲はどういうことになるのでせうか。