民主党の目指すところはdemocracy、つまり民主主義が根底にあり、民が主→国民のための政治を行う（というイメージがある）党です。（実態は別にして）
共和党はrepublicanism、共和主義を掲げ、昔の国王による統治（イギリスとかロシアとか）や独裁者による統治（ヒトラーとか）に反対します。彼らは大統領など国民から選ばれたリーダーに従ったり、あるいは共和制と呼ばれる、複数の連邦国家が１つの国のように存在する国の形を目指す考え方です（アメリカは、昔は南北が異なる国として存在した時期もありましたし、現在も各州が1つの国のような権限を持とうとする意欲のある、連邦国家でもあります。なのでFederation なんとかという役所名や外郭団体名、政治団体名が多い）
後者は、国民から選ばれたリーダーによる点は国民主権で民主党と同じように思いがちですが、一度選んだ大統領（ボス）の決めたことや、共和国家全体の指針には従うべき、というイデオロギーから、民主党の国民のための政策を考えるという態度よりも、どちらかというと「国家政策ありき」（強きアメリカ、世界の警察たるアメリカなど）の政党です。
で、民主党の人や民主党支持者などをDemocratsというのは、民主主義のイメージが、1人1人の国民が主権者としてそこにいて当然であり、それら国民の集合体があるクラス（階層やグループ）を作っているともいえます。
このイメージは、同じくある似た立場の人々がある階級を構成することをあらわす他の言葉、たとえば
technocrat(テクノクラート：技術官僚)とか、bureaucrat（ビューロクラット：官僚）、plutocrat（プルートークラット：金権政治家、財閥クラス）
などのように表されるのですが、これらと同じように民主主義者のクラス、民主党支持層、的な使われ方をするようになったのだと思います。ちょうど、democracyの-cracyとcratが、似たつづりを共有していているので、democracian(s)みたいな（ミュージシャンみたいな）形よりもぴったりきます。
republicは意味するところが「共和」という体制であるため、複数にできるのですが、cratのような言い方みたいにどの階層やグループを表しているかイメージできません。
実際
republics とやると、
the republics of the Soviet Union ソビエト連邦を構成した各共和国
のように、国として（体制として）複数形でそこにあるイメージはできますが、民主主義者の集まりのような、人々の集合体とは異なってしまいます。
本来、共和党員はRepublicanで、民主党員はDemocratなのですが、これらの単語が使われるニュースとか記事、論争などの場面においては、たいてい話題の対象がたった1人の党員でも、あるいは漠然とした民主党員全体でもなく、多くはある地域の民主党集会に参加した複数の党員たちをさしていたり、現在の予備選でもオバマやクリントンら複数が同時に話題に上げられるため、
My family members are all Democrats. のように複数で、述べられます。
同様に、共和党員なら Republicans となります。
お礼
詳しいご回答ありがとうございました。 とても参考になりました。