扇形の中心角と孤長

質問

扇形の中心角と孤長は
　中心角＝孤長/半径
で求められますが、これは中心角、孤長のどちらかが決まれば他方も決まる式です。
それでは、中心角、孤長のどちらかを上記の式を用いずに求める方法はあるのでしょうか。「中心角を分度器で測る」とか計測するのではなく、解析的に求める手段が知りたいです。孤長を求める際に積分を用いればよいと思うのですが、その根拠は中心角＝孤長/半径を利用していると思うのです。中心角＝孤長/半径を用いていない解析的な根拠があればお教えください。

なぜこのことに疑問を持ったかと申しますと、三角関数の極限値
　(sinx)/x →1(x→0)
の証明の際、面積の大小関係
　sinx < x < tanx
がx > 0のときに成り立つことを用いますが(後は省略)、このxは扇形の中心角です。もし扇形の中心角だけを孤長と独立した求め方がなければ孤長を積分で求める必要があります。しかし
　(sinx)/x →1(x→0)
の極限は三角関数の微積分のスタートになる定理です。これでは循環論法になってしまうのでは、というのが表題の疑問を抱いたきっかけです。

ちなみに、当方大学1年レベルの数学まで習得していますので、そのレベルの範疇で回答が得られないかもしれないとも考えています。

長文になり、失礼しました。間もなく年が明けますが、ご回答いただければ幸いでございます。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

平面角の定義には主なものは２つあります。
（１）弧度法では（円周の長さ）/（半径）の比
が定義され、単位はラジアン（無次元）ています。
国際単位系（SI単位系）では「円弧の長さと半径の長さが等しい時の円周角が１ラジアン」
と定義しています。
（２）度数法では一点周りの１周の角度の1/360を１°と定義しています。

弧度法ではラジアン単位の角度を円周の弧の長さと半径の比で定義しています。つまり角度を決める出発点ですから他から求めることは出来ません。
他の定義から「中心角＝孤長/半径」が導けるなら、弧度法の角度の定義が不要になるかわりに、他の定義が必要になります。
角度は本来無次元ですから、人が人為的に定義して定義してよいことで、
他の物理法則や数学の式をうまく単純に統一して扱えるように定めていい量です。しかし個人個人が勝手に定義しては物理法則や数学公式を共通の式で表現できませんから、国際的に統一した定義しています。
ラジアンは参考URLにあるように「国際単位系(SI)における角度（平面角）の単位」として定義されています。

参考URL：

http://wapedia.mobi/ja/Rad

お礼

ご回答ありがとうございます。
中心角＝孤長/半径と定義するのが値の使い勝手がよいということですね。
確かに
> 他の定義から「中心角＝孤長/半径」が導けるなら、弧度法の角度の定義が不要になるかわりに、他の定義が必要になります。
は理にかなってます。

回答No.1

kabaokaba

＞の極限は三角関数の微積分のスタートになる定理です。これでは循環論法になってしまうのでは、

なります．だから（比較的）厳密な教科書では，きちんとやってます．
例えば，大雑把な順番は
(1) 実数を定義する
(2) 極限の理論を展開する
(3) 具体的な関数を定義する
という感じで，三角関数を級数で定義するという流儀があります．
そうすれば，sin(x)/x の極限はほとんど自明になります．
また，級数でsin(x)，cos(x)を定義して，
sin^2(x)+cos^2(x)を証明して，これで「三角比」的なものとの
同値性がでてきますし，一方で周期性を証明して円周率をだして
・・・と，「ふつうの逆向き」で話を進めます．
さらに
(4) 微分を定義して理論を展開する
(5) リーマン積分を定義して理論を展開する
(6) 「測度」を定義して理論を展開する
とか進んでいくわけですが，
「長さ」「面積」といった「計量」をどこに入れるかが微妙です．
もちろん数直線上の長さとかの単純なのは
実数の定義あたりでいれておきますよ．
けど一般的なのは(5)の段階で普通にユークリッド的に定義するか，
(6)で一般の測度にからめるかでしょうね．

。。。って，こういうのはまさに「大学一年の微積分」でやる
基本事項ですよ。。解析概論（高木），解析入門（杉浦）で
詳細は勉強してください．

お礼

ご回答ありがとうございます。
三角関数を級数で定義するのですね。高校数学の過程が後付けだった、ということですか。
勉強不足で恐縮です。詳細が書かれている書籍を購入し、勉強します。