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2005年度東大文系の入試問題

0以上の実数s,tがs^2+t^2=1を満たしながら動くとき、 方程式 X^4ー2(s+t)X^2+(s-t)^2=0 の解のとる値の範囲を求めよ。 これは東大の2005年度の文系の入試問題ですが 解答をみてもわかりません。どなたか詳しく教えてください。

みんなの回答

  • tecchan22
  • ベストアンサー率53% (41/76)
回答No.5

#4です。 >わかりません。もっとやさしくお願いします。 これで分からないということは、単にコーシー・シュワルツの不等式を知らない、ということでしょう? それならば、コーシー・シュワルツの不等式を勉強して下さい。基本の知識ですから。 (どんな参考書にものっていますし、先生に聞けば教えてくれます) その上で、コーシー・シュワルツを使わない方法を希望されるのであれば、また書きます。 或いは、他に分からない箇所があるのならば、そこを具体的に聞くこと。 丸投げ質問の上に、丸投げ欲求では、困りますよ。

  • tecchan22
  • ベストアンサー率53% (41/76)
回答No.4

模範解答はどんな解答だったんでしょうねえ。 気になりますが。 解の「範囲」を求めよ、ということは、きっと実数解に限っているのでしょうね。 僕のは#3に近いかな。 まず普通に X^2 について解いて、 X^2= s + t ± 2√(st) =(√s ± √t)^2 よって、X=±|√s ± √t| (4通り) ・・・(1) |√s-√t|の最大値は、0≦ s,t ≦1より、s=1,t=0またはs=0,t=1のときで、1 最小値は s=t=1/√2 のときで、0 よって|√s-√t|は、0以上1以下の値をとる。  ・・・(2) 次に√s+√tは、コーシー・シュワルツの不等式より (√s + √t)^2=(1・√s + 1・√t)^2 ≦ (1^2 + 1^2)( s + t )=2( s + t ) 再度コーシー・シュワルツの不等式より、 ( s + t )^2≦(1^2 + 1^2)(s^2 + t^2)=2 ( s^2 + t^2=1より) 二つをあわせて、 (√s + √t)^4≦4( s + t )^2≦8 よって、√s+√t≦8^(1/4)=2^(3/4)  (等号成立はs=t=1/√2のとき) また、s=1,t=0やs=0,t=1 のとき、√s+√t=1より、√s+√tは少なくとも1以上の値をとる。 よって、(2)とから、|√s±√t|は、0以上 2^(3/4) 以下の値をとる。 (+の方も-の方も、それぞれsやtの連続関数だから、途中の値はすべてとる) よって(1)より、求める範囲は-2^(3/4) ≦X≦ 2^(3/4) コーシー・シュワルツを使うのが僕には簡単でした。(#3さんはもっと簡単に出していてびっくりですが。あらま。) 兎に角、√cosθ±√sinθのとりうる値に帰着するので、理系ならば微分して増減を調べれば一発です。

me489261
質問者

補足

わかりません。もっとやさしくお願いします。

  • age_momo
  • ベストアンサー率52% (327/622)
回答No.3

s^2+t^2=1から s=cosθ,t=sinθ (0≦θ≦π/2) として単純に変形しても解けると思います。 X^4-2(cosθ+sinθ)X^2+(cosθ-sinθ)^2=0 X^2=cosθ+sinθ±√(4sinθcosθ)=√2sin(θ+π/4)±√(2sin2θ) θ=π/4のとき sin(θ+π/4)=1,sin2θ=1なので明らかに X^2の最大値は2√2、最小値は0 また、θ=0のとき、 √2sin(θ+π/4)+√(2sin2θ)=√2sin(θ+π/4)-√(2sin2θ)=1 よって、X^2は0以上2√2以下のいずれの値もとることが可能。以上から 0≦X^2≦2√2 -8^(1/4)≦X≦8^(1/4) もっともこの方法は最大値を求める際、θ=π/4でどちらのsinも最大値に なるため、容易に記述できますが、ずれる場合は面倒な計算が必要に なる可能性があります。

noname#47894
noname#47894
回答No.2

対称式が与えられているので、s+t=k st=m と二つ式を立てればいいのですが、この問題は (s-t)^2=2(s^2+t^2)-(s+t)^2 ですから、(s-t)^2=2-(s+t)^2 となり、st のほうは考えなくて良いので(「東大の情け」ですかね)、 s+t の値の範囲を調べます。 s^2+t^2=1 がs-t平面上で、円の方程式を表すのは知っていますね? 0以上の実数s,t という条件から、円の右上1/4(端も含む)を表しています。直線 s+t=k が、その円弧に接触するように動くとすると、1≦k≦√2 であるとわかります(これは、教科書の例題レベルです)。 X^4-2(s+t)X^2+(s-t)^2=0 は、X^4-2kX^2+2-k^2=0 (ただし1≦k≦√2)ということになります。 ここで、あるkに対して実数Xが存在しているという関係を逆に考えると、Xからkへの対応も存在するはずですね。 だから求めるXの範囲に属するXに対しては、1≦k≦√2を満足するkが(一つとは限りませんが)見つかるはずですよね? よって、これをkについての2次方程式とみなして、Xが実数の時、これが1≦k≦√2で実数解をもつ条件を考えることにします。 解きにくいので、k^2+2kX^2-2-X^4=0 となおして、 f(k)=k^2+2kX^2-2-X^4 とおいて、y=f(k)が、1≦k≦√2 でk軸と一回以上交わる条件を考えます。 y=f(k)の頂点は、(-X^2、-2X^4-2)  Xは実数より X^2≧0 なので、頂点は、y軸上の負の領域か または、第3象限にある。 よって、y=f(k)が、1≦k≦√2 でk軸と一回以上交差するには、 f(1)≦0、かつf(√2)≧0 であればよいので、-X^4+2X^2-1≦0(1) かつ 2√2X^2-X^4≧0(2) であればよい。 あとはできますね?(計算は自分で確認を) ========= No.1のような方法でもいけるとは思いますが、放物線の頂点(のm座標)の存在範囲を出すことになります(値域ではありません)。文字が多いので、実際は困難だと思われます(やってみたわけではありませんが...)。 なお、「s+t=m、st=n(0≦m≦1、0≦n≦1、m^2-4n≧0)と置くと」の 「0≦m≦1、0≦n≦1」 は良くありません。例えばs=t=√2/2 とすると、m=√2 となり、反例が容易に見つかります。また、n=1 のとき、対応すべき実数s,tは存在しません。

me489261
質問者

補足

わかりません。もっとやさしくお願いします。

  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.1

そんなに難しくないだろう。方針を示すから、計算は自分でやって欲しい。 s^2+t^2=1からs+t=m、st=n(0≦m≦1、0≦n≦1、m^2-4n≧0)と置くと、m^2-2n=1‥‥(1) X^4ー2(s+t)X^2+(s-t)^2=x^4-2mx^2+m^2-4n=0‥‥(2) (1)は(0≦m≦1、0≦n≦1、m^2-4n≧0)という条件付きの放物線‥‥(3)。(2)は4n=(m-x^2)^2‥‥(4)になりやはり放物線。(3)の範囲で(4)の放物線の値域を考えると良い。 或いは、s^2+t^2=1からs=cocθ、t=sinθ(0≦θ≦π/2)として、考えても良い。

me489261
質問者

補足

わかりません。もっとやさしくお願いします。

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