ラグランジュの定理の系

質問

以下の事についてですが・・・

Ｇが有限群であるとき、｜Ｇ｜＝ｎ（位数）とすると、

∀ｘ∈ Ｇ に対して Ｘ^n ＝ e (群Ｇの単位元）が成り立つ、と本に書いてあったのですが、どう言う事かわかりません。

（群Ｇに属する任意のｘについて）→（群Ｇに属する任意のｘ一個一個について）と読めるので、

ここで、群Ｇに属する、どんなｘを（任意だから一つだけ選んでもいいですよね）一つ選んできて、それをいくら位数乗しても決して,e,には、ならないと思うのです。

これがもし群Ｇのすべての要素を位数乗すれば必ず,e,になるというのなら納得できるのですが、私が,∀,の概念を間違って理解しているのでしょうか？

どなたか、分かる方教えてください、気持ちが悪くて仕方ありません。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

一応補足

x^i=x^jとなるi,jがないとすると、x^0,x^1,x^2,…はすべて異なり、
するとGは無限個の元を含んでしまうことになり、Gが有限群であること
に反する。

お礼

なるほど、i,jは、｜Ｇ｜＝ｎ（位数ｎ）の約数ですもんね、少なくとも、約数は2つ以上存在しますし、冷静に考えれば分かる事でした、

どうも失礼しました、でも、ありがとうございました、感謝です！

回答No.3

koko_u_

>なぜ、(i≠j,x＝x)なのに、x^i=x^jとなってしまうのでしょう
G は有限群だから。

お礼

おっしゃる通りです、ありがとうございました。

回答No.2

zk43

意味としては、Gの任意の元xを選んだ時、それをn乗すれば必ず単位元
eになる、ということです。
簡単な例としては、法5で考えた場合の(Z/5Z)*={1,2,3,4}では、
1^4=1
2^4=16=1
3^4=81=1
4^4=256=1
となっています。
ラグランジュの定理とは、有限群Gの任意の部分群Hの位数は、Gの位数
の約数である、というものです。
ここで、Gから任意の元xを取り、x^0,x^1,x^2,x^3,…を考えると、これ
らはどれもGの元なので、有限個の集合です。
従って、これらがすべて異なるということはありえず、x^i=x^j（i>j）
となるi,jがあります。すると、両辺にx^jの逆元を掛けて、x^(i-j)=e
となります。
つまり、x^k=eとなるkがあります。このような自然数kのうち、最小の
ものをmとすると、x^0,x^1,x^2,x^3,…は集合としては、
x^0(=e),x,x^2,x^3,…,x^(m-1)となっています。
これらの元からなる集合は、単位元を含んでおり、x^iの逆元x^(m-i)も
含んでいるので、Gの部分群となっています。（位数mの巡回群）
よって、ラグランジュの定理より、mは群Gの位数nの約数です。
よって、n=mq（qは自然数）と書けて、x^n=x^mq=(x^m)^q=e^q=e
となります。

要するに、ポイントは、Gの任意の元xから生成される、Gの巡回部分群
を考えることです。

補足

早速くわしい回答をくださってほんとにありがとうございます

＞x^i=x^j（i>j）となるi,jがあります。すると、

すみません、ここの所がよくわかりません、
なぜ、(i≠j,x＝x)なのに、x^i=x^jとなってしまうのでしょう、これが、納得できれば気持ちの悪さもなくなると思います、教えてもらえないでしょうか？

＞x^0(=e),x,x^2,x^3,…,x^(m-1)となっています。これらの元からなる集合は、単位元を含んでおり、x^iの逆元x^(m-i)も含んでいるので、Gの部分群となっています。（位数mの巡回群）

巡回群ということは、私の不十分な理解によるところ、
（例1）{...,a^(-3),a^(-2),a^(-1),e,a^1,a^2,a^3,...}、（位数m)
ということになり、

すると、
（例2）{x^0,x^1,x^2,.......x^(m-1)} （∀x∈Ｇ）

したがって、
（例1）と（例2）は、全単射になっていたんですね！

回答No.1

koko_u_

>群Ｇに属する、どんなｘを（任意だから一つだけ選んでもいいですよね）
>一つ選んできて、それをいくら位数乗しても決して,e,には、
>ならないと思うのです。
「なる」というのが今の定理です。

Ｇ は有限群なので、その要素をどんどん冪乗していくと、有限個の要素の中をぐるぐる巡回するイメージです。x^k = x よって x^(k-1) = e

個別の x について一周するサイクルはばらばらですが、そのサイクルがラグランジュの定理によって |G| の約数だとわかります。よって x^n = e

お礼

疑問はとけました、ありがとうございました、また、よろしくお願いします。