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中心角の定理
tecchan22の回答
- tecchan22
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誰かまとめてくれるか、質問者のコメントが出ることを待っていましたが、何もないので少し補足すると、 初等幾何の大前提は、 A「移動により図形の大きさと形は変わらない」 です。 ※ここでの「移動」は、平面幾何の場合、平行・回転・対称か、それらを続けて行ったものと同じになることが証明されます。 だから、 B「円を移動したものは、等しい半径の円である」 ことは、Aより自明と思えば、既に示したように、中心角の定理はほぼ自明です。 (円の中心を中心として回転しても不変(ぴったり重なる)ですから、弧の長さが等しければ弧は合同になる) ただ、初等幾何はユークリッドさんが「原論」で厳密に構成したわけですが、そこではAはより正確には A’「移動により長さと角は変わらない」 つまり、「移動により、任意の線分は同じ長さの線分に、任意の角は同じ大きさの角に移る」 と表現されます。 ですから、直感的なAからはBは自明と思えますが、「大きさ」を線分の長さ、「形」を直線が直線に移ることと角の大きさ、 に限定し、厳密に表現したA’からは、Bは自明とは言いがたいわけです。 それで#12(または#11)のような証明が必要になるわけです。 そういう立場を理解した上で#12(やその他)の証明を読んでもらうと、やっていることが分かりやすいかと思います。 勿論、ユークリッド式にこだわらなければ、それを少し緩めた、Aを公理としてBは自明と考える立場もアリだと思います。 (というより、ほとんどの中学生・高校生・数学教師はこちらでしょう。教科書はユークリッド式を土台としているのですが、そこまで厳密に教えることは要求されていません。)
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