最大角度差の計算の過程がわからなくて困っています

質問

角度θ＝一定、角度Ａと角度Ｂが
tanA=cosθ*tanB
の関係を満たすとき、
角度Ａと角度Ｂの最大の角度差Ｃは
Ｃ=atan(1/cosθ)^(1/2)-arctan(cosθ)^(1/2)
となるとある文献に掲載されているのですが、
なぜそうなるのかがわからなくて困っています。
どなたか計算の過程を教えてくださるとありがたいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

zk43

細かい点は抜きに大まかな計算

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=(cosθ-1)tanB/(1+cosθtan^2B)
ここで、x=tanBとおいて、これを独立変数xの関数と見る。
y=(cosθ-1)x/(1+cosθx^2)
xで微分すると、
y'=(cosθ-1)(1-x^2cosθ)/(1+cosθx^2)^2
y'=0となるのは、x=1/√cosθのとき。
つまり、tanB=1/√cosθのとき、tan(A-B)は最大となる。
tanは単調増加関数なので、同様にこのときA-Bは最大となる。

tanB=1/√cosθとすると、
tan(A-B)=(√cosθ-1/√cosθ)/2

ここで、一般にatanX-atanY=atan{(X-Y)/(1+XY)}が成り立つ。
なぜならば、a=atanX、b=atanYとすると、tana=X、tanb=Yであり、
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana・tanb)=(X-Y)/(1+XY)
a-b=atanX-atanY=atan{(X-Y)/(1+XY)}

よって、X=√cosθ、Y=1/√cosθと見て、
（分母は2=1+√cosθ×1/√cosθ）
A-B=atan{(√cosθ-1/√cosθ)/2}
=atan√cosθ-atan(1/√cosθ)
が最大になる。

cosθがマイナスのときとか、細かいことは考慮していないので、
もう少し詳細に考えてみてください。

相加相乗平均とかでもできる気もしますが、よく考えてません・・・

お礼

丁寧な説明で、とてもよくわかりました。
ありがとうございます。
大学の数学の領域かと思いきや、高校数学で解けるものなのは驚きました。
解法が美しいですね。