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密度と完全加法族

2007/10/23 23:49

Nの部分集合Sの族をsとします。 s={S⊂N|lim(m→∞)#{k∈S, 1≦S≦m}/m}と定義します。このときsは完全加法族かどうか教えてください

kourchys
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数学・算数
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ringohatimitu
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2007/10/24 07:36 回答No.1

これは完全加法族にはなりません。すべての有限集合はこの定義でsに属しますが、一方でNにおけるすべての部分集合は有限集合の可算和であり仮に完全加法的だとすればすべての部分集合はsに属することになります。しかしsに属さない集合があるので矛盾です。すなわち完全加法的では有り得ないことになります。

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