至急お願いします！

質問

底面の半径ｒと高さｈの和がL(一定）であるような
円錐について、体積が最大となるとき、ｒ：ｈを求めよ。

どういうふうにとけばいいんでしょうか？
至急お願いします！

回答No.5

Mell-Lily · ベストアンサー

まず、
　r+h=L
　∴ h=L-r … (1)
ですから、体積Vをrの式で表せば、
　V=πr^2h/3=πr^2(L-r)/3=π(Lr^2-r^3)/3 … (2)
となります。これをrについて微分すれば、
　V'=πr(2L/3-r) … (3)
となりますから、Vは、
　r=2L/3 … (4)
のとき最大値をとります。(4)を(1)に代入すれば、
　h=L/3 … (5)
ゆえに、
　r:h=2L/3:L/3=2:1 … (Ans.)

お礼

理解することができました、有難うございました＾＾

回答No.4

larry

下の訂正

L = r + h ですから、h = L - r
でした。すいません。

回答No.3

larry

L = r + h ですから、h = r + L
この円錐の体積Ｖを公式から求めて
hを消去してrの式とします。

このＶをrの関数と考えてＶが最大となる点の
rを求めれば、求める答えが出ます。

最大点は微分してゼロとおけば出ます。
r : h = 2 : 1 じゃないかな。
もうちょっと簡単にできるような感じもしますが
まあがんばってみましょう。

お礼

参考になりました、有難うございました。

回答No.2

tuffboy

ｒ+ｈ＝T（一定値）とすると
体積　V（ｒ）＝１/3×π×ｒ×ｒ×（Ｔ-ｒ）
　これを　ｒの関数として　解けばいいのでは

回答No.1

Auravictrix

円錐の体積の公式でrとhから体積を出す式を作ります。
ここで、r+h=L なので h=L-r とでもして上の式から r か h だけの式にします。
多分３次式になると思うので 0<r,h<L の範囲での最大値を求めるとrがLの何倍かになる条件になっているはずですから r:h はすぐ出ます。

もう少し見通しをよくしたければ、
r=r'x L, h=h'x h, r'+h'=1, 0<r'<1 の条件で解けば Lは全部括弧の外に出せるのでかっこいいかも。

お礼

理解することが出来ました。どうもありがとうございました