中学 数学

質問

中学数学について質問です。
○：△＝□：×は
　△□＝○×
　　内項の積は外項の積に等しい。
　これはなぜこうなるのですか。
また○÷□＝○/□
　これはなぜこうなるのですか。
また○/×＝△/□
　　　○□＝×△
　これはなぜこうなるのですか。
簡単に証明できる方法はありますか。
自分が中学生の時は何の疑いもなく丸覚えをしていたのですが
中学生の弟に聞かれて困っています。

理系の方にしたら証明できて当たり前のことですか。
このような数学の理論を書いている本ってありますか。
回答お願い致します。

回答No.5

Little Ram（@LittleRamb）

たとえば、1+1＝2になるというのは、小学生でもわかっていることですがこれを証明するのは難しいらしいです。
でも誰も、1+1＝2であることを疑いませんよね？疑っていたら、数学の根本が崩れてしまうことになりますから。
でも、誰もがそれは正しいと思っている（一個に一個を追加すると二個になる等）数学的事実を、「公理」と呼ぶのだと大学時代の教授は言っていました。

若い頃は、いろんな疑問がわきますよねぇ。でも、それって大切なことですよね。大人になると日常生活に流され、考えることを止めてしまうことがほとんどですからね。
世紀の発見というのは、そういう素朴な疑問から、始まるんでしょうね。数学の理論書より、まずは数学についての軽い読み物（数学の歴史とか歴史上の数学者の話とか）などから、読んでみてはどうでしょうか？

回答No.4

Ichitsubo

○÷□＝○/□
は証明が不可能です。
#3さんの意見が非常に正しく、計算上での約束事であり、書き方を変えてみただけのことだからです。

また、同様に、比も○：△を書き方を変えると○/△とも書けます。
○：△＝□：×　ならば　△□＝○×　と
○/×＝△/□　ならば　○□＝×△　とは
本質的に同じ質問ですので、どちらか片方が言えればもう片方も説明したことになります。

回答No.3

Vwiyoonn

まず、○÷□と○：□は表し方が異なるだけで同じものを表現している、というのが（中学生レヴェルの数学の）前提です。
　ですから、
　○÷□＝○/□
　と、いうのはこう考えてくださいね、という大前提です。○は『まる』と読んでくださいねというようなものです。
　この証明は、両辺に□を掛けて（以下掛け算記号は＊を使用）
　（○÷□）＊□＝（○／□）＊□
　両辺に同じ数を掛けても式の意味は変わらないので
　○＝○
　そして、最初の式に戻ります。
　○：△＝□：×
　ですから、この式は
　○/△＝□/×
　と表現してもいいことになりますよね。
　と、なれば両辺に△と×を掛けると
　（○/△）＊△＊×＝（□/×）＊△＊×
　○×＝□△
　と、なります。
　この考え方を使えば三番目の式も同様に解くことができると思いますがこのようなものでどうでしょうか。

回答No.2

Baffaran

○÷□＝○/□
これは単に言い換えてるだけです。
÷と／は同じ記号として扱います。
（「バツ」と「かける」の区別がつかないので、以後ａとｂを使いますね）
ａ×ｂを省略して、ａｂと書くと教わりましたが
同様にａ÷ｂをａ／ｂと表記する、それだけです。
またａ／ｂを特別にａ：ｂとも表記することもあります。
（比は小学生のみなので忘れられがちですね）

ａ＝ｂのときａｘ＝ｂｘ（中学の数学の教科書に載ってます）
ａ／ｃ＝ｂ／ｄ　のとき
両辺にｃをかけると
ａｃ／ｃ＝ｂｃ／ｄ
このとき左辺は約分して
ａ＝ｂｃ／ｄ　
両辺にｄをかけると
ａｄ＝ｂｃｄ／ｄ
右辺約分して
ａｄ＝ｂｃ
となります。ａ：ｃ＝ｂ：ｄも同様です。
（正確には、両辺にｃｄをかけている、ということです）

難しいことではないので、教科書見ながら説明してあげるといいですよ

回答No.1

noritomo48

まず、
○÷□＝○/□
は、÷を省略した形です。もしくは、□分の○を横にして書いた形です。

○/×＝△/□
は、両辺は＝で成り立っており、片方の式に何か足したり、引いたり、掛けたり、割ったりした時はもう片方のほうにも同じ数を同じように、足したり、引いたり、掛けたり、割ったりしなければなりません。
　まず、左辺の分数をなくしてあげるために、分母の数を両辺に掛けてあげます（Ｘ）。
○＝△×/□
　次に、右辺の分数をなくしてあげるために、分母の数を両辺に掛けてあげます（□）。
○□＝×△
となります。

昔、僕の場合は、：の間に、－をいれてみ形だといわれました。すると÷になります。
○：△＝□：×は○÷△＝□÷×
この場合だと、数が割り切れなかったりすると分数になるから、↑のように分数をなくしてあげた形です。これが、内項の積と外項の積と等しくなります。
○×＝△□　→　△□＝○×

なぜって聞かれるとやはりむずかしいですねー。