教えてください

質問

（１）
点（P,０）を中心とする半径ｒの円が、放物線y＝x^2（Xの二乗）と点A、Bのみを共有するとき、rとaの満たす条件を求めよ。また、ｒの範囲を求めよ。ただし、0<r<aとする。

（２）
また、角APBが直角となるようなaとrの値を求めよ。

(1)の方は解けたのですが、（２）の方が解けません。
ちなみに（１）は円を表す式と放物線の式を連立して解きました。
どなたかよろしくお願いいたします

回答No.3

Mell-Lily · ベストアンサー

放物線の方程式は、
　y=x^2 …(1)
円の方程式は、
　x^2+(y-a)^2=r^2 … (2)

<1>
(1)を(2)に代入して、
　x^2+(x^2-a)^2=r^2
　∴ x^2+x^4-2ax^2+a^2=r^2
　∴ x^4+(1-2a)x^2+a^2-r^2=0 … (3)
ここで、
　t=x^2 … (4)
とおけば、
　t^2+(1-2a)t+a^2-r^2=0 … (5)
(1)と(2)の共有点は2つだから、
　(1-2a)^2-4(a^2-r^2)=-4a+4r^2+1=0 …(6)
このとき、(5)の解は、
　t=(2a-1)/2=a-1/2 … (7)
(4)は解を持つから、
　t=a-1/2>0
　∴ a>1/2 … (8)
また、(6)より、
　4a=4r^2+1
　∴ a=r^2+1/4 …(9)
これを、(8)に代入して、
　1/2<r^2+1/4
　∴ 1/4<r^2
　∴　r>1/2 (∵ r>0) … (10)

<2>
(4),(7)より、
　x=±√(a-1/2), y=a-1/2
よって、A,Bの座標は、
　(-√(a-1/2),a-1/2), (√(a-1/2),a-1/2) … (11)
これらと点P
　P(0,a) … (12)
とを結んだ二本の線分は直行するから、
　[{(a-1/2)-a}/{-√(a-1/2)-0}]×[{(a-1/2)-a}/{√(a-1/2)-0}]=-1
　∴ [(-1/2)/{-√(a-1/2)}]{(-1/2)/√(a-1/2)}=-1
　∴ -1/4(a-1/2)=-1
　∴ 4(a-1/2)=1
　∴ 4a-2=1
　∴ 4a=3
　∴ a=3/4. … (13)
これを(9)に代入すれば、
　3/4=r^2+1/4
　∴ r=1/√2 (∵ r>0) … (14)

お礼

解答していただきありがとうございました。
自分で（１）で放物線と円の方程式を連立した時にｙの方程式にしたので、別解をしめして頂き大変参考になりました。
お世話になりました。

回答No.4

hinebot

#2です。途中計算間違いしてました。

>これを(ア)に代入すると
>r^2/2+4√2r-a =0 すなわち、r^2+8√2r-a=0

(ア)t^2-t-a=0に代入すると　r^2/2-(√2/2)r-a =0 すなわち r^2-√2r-2a=0
ですね。何を勘違いしたんだか(汗)

改めて、これと(1)で求めた条件　4r^2-4a+1＝0 の連立方程式を解くと

2r^2+2√2r+1=0 ⇒ (√2r-1)^2=0　よって、r=1/√2=√2/2
2-4a+1=0 より a=3/4

(これで、#3の方と答えが合いました。）

お礼

解答していただきありがとうございました。
自分と同じ方法で解答していただいたので、とてもわかりやすかったです。
お世話になりました。

回答No.2

hinebot

多分、これでいいとは思いますが…。でも自信なしです。

(1)はこうでしょうか。
円の方程式は　x^2+(y-a)^2=r^2
y=x^2を代入して

y+(y-a)^2=r^2
y^2+(1-2a)y+a^2-r^2 = 0

判別式Ｄ＝(1-2a)^2-4(a^2-r^2)＝０
左辺＝1-4a+4a^2-4a^2+4r^2=4r^2-4a+1＝０
求める条件は　4r^2-4a+1＝０(0<r<a)

4a=4r^2+1 で、0<r<a　なので、4r<4a
∴0<4r<4r^2+1　4r^2-4r+1＞０　（2r-1)^2＞０
この２次不等式から、求めるｒの範囲は　ｒ＞1/2

(2)
接点Ａ，ＢはＹ軸について対象となる。
そこで、t>0　として
A(-t,t^2),B(t,t^2)と置くことができる。
線分ＡＢとＹ軸との交点をＣ（0,t^2)と置く。
ＡＰＢが直角⇔ＡＰＣ＝45°⇔△ＣＡＰはAC=PCの直角二等辺三角形

AC=t, CP=t^2-a
AC=CPより、t^2-t-a=0　…(ア)
ここで、点Ａは円x^2+(y-a)^2=r^2の点なので、
t^2+(t^2-a)^2=r^2を満たす。
(ア)より、t^2-a =t を代入して
2t^2=r^2 ∴t=r/√２　（∵t>0 としたので）
これを(ア)に代入すると
r^2/2+4√2r-a =0 すなわち、r^2+8√2r-a=0
これと(1)で求めた条件　4r^2-4a+1＝0 の連立方程式を解く。
4r^2+32√2r-4a =0
32√2r-1 = 0 ∴ r=1/32√2 = √2/64
（a は省略します）

回答No.1

Mell-Lily

…するとき、rとaの満たす条件を求めよ。また、…

"a"とは何ですか？

補足

円の中心の座標が点P（0,a)でした。
すみません