連続性の調べ方について

質問

関数の連続性を調べる問題で
その関数のグラフの概形が簡単に求められる場合
極限値を求めずにグラフをかいて
「グラフより　区間[a,b)で連続　x=bで不連続」
とするだけでは不十分でしょうか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

例えば2次関数のグラフなんかは、頂点の座標と高々2つほど点をプロットすればグラフが描けますね。
高校までで出てくる関数だと、もう少し複雑になっても、極値をとる点と変曲点とx切片、y切片と10個ほど点を打てば十分にグラフが描けます。

しかし、このように数個の点をプロットするだけでグラフが描けるのは、そのグラフが連続だとすでにわかっているから。

世の中にはすべての点で不連続であったり、すべての点で連続であるにも関わらずすべての点で微分不可能であるためにグラフを描くことが出来ない関数が存在します。
そのような関数の連続性はグラフが描けないから証明不可能？でしょうか？
グラフはイメージを掴む分には便利ですが、幅のある線で人間なりプリンタなりが描いてる以上完全に正確ではあり得ません。
グラフを描いてみれば連続であるような気はしてくるでしょうが、それでも疑り深く例外を探し排除していくのが数学のやり方です。

すべての点で不連続な関数の例
　　f(x) = lim[m→∞]{lim[n→∞]{(cos(2π*n!*x))^m}}
すべての点で連続かつすべての点で微分不可能な関数の例
　　g(x) = Σ[n=0～∞]{e^(-n)*sin((e^2n)*x)}

お礼

なるほど～
連続だという保証がない状態でグラフをかいても
証明にはならないということですね。(違ったらすみません・・
回答ありがとうございました。納得です。