連続関数について

質問

参考書に閉区間〔a,b〕で連続な関数について、その閉区間で最大値および最小値を持つと書いてありますが、これは連続関数に限らず関数一般について言えることではないのでしょうか。
初歩的な質問ですみませんm(__)m

回答No.5

oshiete_goo · ベストアンサー

既に適切な例も挙げられておわかりのように，
「連続関数でなければ一般には言えない」
が結論です．

＃３さんの挙げられた例は教科書的な（うますぎる？）例で，最大値＝上限＝２で，下限は存在して－1だが最小値なしという例ですね．今の場合の反例としては一番的確でしょうか．

平凡な例では，[0,1]で定義される次の不連続関数
f(x)＝ｘ　　　　（０＜ｘ＜１）
　　＝１／２　　（ｘ＝０，１）
は，上限１，下限０　であるが，最大値も最小値も持ちません．

さらに＃１さんや＃２さんの示された例は上限(ないし下限)すらもない例で(発散するから)，
[ただし＃１さんの関数ではｘ＝０のところで　適当な値f(0)を定義しておかないと不都合でしょうが]

同様の例を挙げると
[-π/2，π/2]で定義される次の不連続関数
f(x)＝tanｘ（-π/2＜ｘ＜π/2）
　　＝０　[←実は何でもよい]（ｘ＝±π/2）
は最大値，最小値はもちろん上限も下限も存在しません．

回答No.4

Mell-Lily

ある閉区間で連続でない関数が、その閉区間で最大値、および、最小値を持つことはあります。

閉区間で「連続」という条件で、関数の最大値、および、最小値の存在が保証されるということが”味噌”ですね。

回答No.3

F0ur1er

この命題を示すためには連続性が必要なので、
不連続な関数等の関数一般については言えな
いと思うけど…。

反例としては
f(x) = (x^2 + x)/|x| (x=0を除く)
f(0) = 0
[-1,1]：閉区間
を考えれば、最小値が存在しない。
また、最大値(上限)：２である。

この命題は閉区間 [a,b] に点 c,d が存在して、
この区間のすべての点 x に対して
f(c) ≦ f(x) ≦ f(d)
が成り立たなければいけないので、 反例で最小値
が存在しないことからも関数一般について言えないと思う。

この命題は大学生用の「微分積分学」の本に載ってます。

回答No.2

nubou

ｘ＝ａでｆ（ｘ）＝０
ａ＜ｘでｆ（ｘ）＝１／（ｘ－ａ）
であるｆ（ｘ）は最大値を持たない

回答No.1

liar_adan

[-1, 1]において
f(x) = 1/x
を考えれば、この関数は最大値最小値を持ちません。
±∞を最大値最小値としそうですが、これは数ではないですから。