リー代数と可換な量
L_A:(A=1,2,…d):コンパクト群のリー代数
上付きと下付きの添字が同じものについては和をとる
構造定数
[L_A,L_B]=i C_{AB}^C L_C
iは虚数単位
C_{ABC}≡C_{AB}^D g_{DC}
性質
C_{AB}^C=-C_{AC}^B, C_{AB}^C=-C_{BA}^C つまりC_{AB}^Cは完全反対称
C_{ABC}=C_{BCA}=C_{CAB}=-C_{BAC}
C_{ABC}g^{BD} g^{CE}≡C_A^{DE}とすれば、C_A^{DE}=-C_A^{ED}
ヤコビ恒等式
C_{AB}^M C_{CM}^N + C_{BC}^M C_{AM}^N + C_{CA}^M C_{BM}^N = 0
計量テンソル
g_{AB}≡C_{AC}^D C_{BD}^C
g^{AB} g_{BC}=δ_C^A (C=Aのとき1でそれ以外は0)
問題：次の量はすべてのリー代数L_A(A=1,2,…d)と可換であることを示せ。
C^{(2)}=L_A L_B g~{AB} , C^{(3)}=C_{AD}^E C_{BE}^F C_{CF}^D L^A L^B L^C
ただし、L^A≡g^{AB} L_B
解答の途中経過
C_A^{DE}=C_{ABC}g^{BD} g^{CE}=C_{AB}^F g_{FC} g^{BD} g^{CE}=C_{AB}^E g^{BD}
[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]を用いると
[L_C,L_A L_B g^{AB}]=i(C_{CA}^M L_M L_B + C_{CB}^M L_A L_M)g^{AB}
=i(C_C^{BM}L_M L_B + C_C^{AM} L_A L_M)=i C_C^{AM}(L_A L_M + L_M L_A)=0
[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC{A,D]を使ってみると
[L_X,C_{AD}^E C_{BE}^F C_{CF}^D L^A L^B L^C]=[L_X,L_G L_H L_I]C_{AD}^E C_{BE}^F C_{CF}^D g^{AG}g^{BH}g^{CI}
=i(C_{XG}^M L_M L_H L_I + C_{XH}^M L_G L_M L_I + C_{XI}^M L_G L_H L_M) C_{AD}^E C_{BE}^F C_{CF}^D g^{AG}g^{BH}g^{CI}
あたりまで変形できるのですが（間違っていたらご指摘ください）
このあとどうしたらいいものか止まっています。
ヤコビ恒等式を使えば証明できる、とありますが、どのようにしてヤコビ恒等式を使う形にもっていけるのかと・・・
演習本やネットとかを探してもこれといったのが見当たりません。おわかりの方がいましたら教えてください。
お礼
ありがとうございます。 シンプルなんですねえ。自分が想像しすぎたんですね。