2次関数の共通の解と定数mの値を求める方法
- 2つの2次方程式が共通の解をもつ場合、定数mの値と共通の解を求める方法について説明します。
- 問題の2次方程式において、共通の解をaとすると、形式的に表示すると、(1) a^2-(m-3)a+5m=0、(2) a^2+(m-2)a-5m=0 です。
- 具体的な計算手順として、(1)-(2)を引くことから始めます。その後、因数分解を行い、式を解くことで定数mの値と共通の解を求めることができます。答えはm=0の時、共通の解は0であり、m=5/22の時、共通の解は-1/2です。
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2次関数
2つの2次方程式x^2-(m-3)x+5m=0・・・(1),x^2+(m-2)x-5m=0・・・(2)が共通の解をもつとき、定数mの値を求めよ。 また、その共通の解を求めよ。 という問題で 共通の解をaとすると (1)a^2-(m-3)a+5m=0 (2)a^2+(m-2)a-5m=0 となり、(1)-(2)を引く、と考えたんですけど 引いた答えが -(2m-5)a+10m=0で因数分解も分からなくて困ってます。 この続きはどうすれば良いんでしょうか? 最初の段階ですでに間違ってるかもしれません・・・ ちなみに答えはm=0の時共通の解0、m=5/22の時共通の解-1/2です。
- mp1p1eqsvr
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2m-5=0つまり、m=5/2のとき、(1)の方程式の解 は虚数解で、(2)の方程式の解は実数解になるので、 2m-5≠0 よって、-(2m-5)a+10m=0より、a=10m/(2m-5) これをa^2-(m-3)a+5m=0に代入して整理すれば求められます。
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- take_5
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(1)より、(x-5)m=x^2+3x‥‥(3) (2)より、(x-5)m=-x^2+2x‥‥(4) x-5=0のときは不適である事を確認したうえで、m=(x^2+3x)/(x-5)=(-x^2+2x)/(x-5)となるから、これを解いてx=0、or、-1/2. 以上から、(m、x)=(0、0)、(5/22、-1/2)。
- akira47
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両者を加えると、x(2x+1)=0 よつて、x=0またはx=-1/2 x=0のときm=0 x=-1/2のときm=5/22とすぐに出ます。 此等の値を(1),(2)に代入して検算する必要があると思います。
- sanori
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そのまま続けても解けます。 -(2m-5)a + 10m = 0 なので a = 10m/(2m-5) (だたし、2m-5=0 でない、すなわち m=5/2 でないこと) (1)に代入 (10m/(2m-5))^2 - (m-3)・10m/(2m-5) + 5m = 0 (10m)^2 - 10m(m-3)(2m-5) + 5m(2m-5)^2 = 0 mで割って 100m - 10(m-3)(2m-5) + 5(2m-5)^2 = 0 (ただし、m=0でないこと) というわけで、mが0でないことを前提にしての、 mについての二次方程式になりました。 先に、m=0のほうだけ片付けちゃいますと、 x^2 + 3x = 0 x^2 - 2x = 0 の共通解なので簡単。 さて、二次方程式に戻って、 100m - 10(m-3)(2m-5) + 5(2m-5)^2 = 0 100m - 10(2m^2 -11m + 15) + 5(4m^2 -20m + 25) = 0 (-20+20)m^2 + (100+110-100)m + (-150+125) = 0 結局、一次方程式になっちゃいました。 110m - 25 = 0 m = 25/110 = 5/22 (m=5/2 でないので合格。)
- info22
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>共通の解をaとすると >(1)a^2-(m-3)a+5m=0 >(2)a^2+(m-2)a-5m=0 >-(2m-5)a+10m=0 (2m-5)≠0ゆえ (3)a=10m/(2m-5) (3)が共通の解になるための条件は (3)のaが(1)または(2)のどちらかの式を満たすことです。 (3)を(1)に代入して整理すると 5m(22m-5)/(2m-5)^2=0 m=0またはm=5/22 が出てきます。 これらのmを(3)に代入して共通解aが計算できます。 >ちなみに答えはm=0の時共通の解0、m=5/22の時共通の解-1/2です。
- akira47
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引いてダメなときは、加えましょう。 共通の解をαとすると、 (x-α)(x-β)=0 (x-α)(x-γ)=0 両者を加えると、(x-α)で括れます。 此で、mが消えて、xが求まります。
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