電界の強さの求め方について

質問

よろしくお願いします。
大学受験問題集に載っている問題です。電界の強さをガウスの法則を使って求める問題なのですが、ガウスでは、球面、今回は、円柱で、その際の使い方がよくわかりません。

問題
一直線上に、単位長さあたりσ（C/m）の正電荷が一様に分布している。この直線からr（m）離れた点での電界の強さを求めよ。

解説
対称性から電気力線は直線Lに垂直になる。Lに沿って長さl(m)の部分にはσl（Ｃ）の電気量があり、Ｎ＝４πkσl（本）の電気力線が出て、---☆
半径r(m)の円柱面（表面積S==2πrl）を貫いている。対称性から面上の電界Eは共通であり、
E=N/S=4πkσl/2πrl=2kσ/r(N/C)

とありますが、☆のところで質問です。
どうして、Ｎ＝４πkσl（本）となるのでしょうか？
ガウスの法則では、総本数はＮ＝４πkQ（本）となっていて、きっとこのQをσlにおきかえたのだと思いますが、
そもそもここでガウスの法則は使えるのでしょうか？ガウスの法則でＮ＝４πkＱ（本）となっているのは、電荷Ｑから半径rのところの電気力線の総本数で、球面の表面積が4πr^2だから、総本数N=（kQ/r^2）×４πr^2となっていると思います。
でも、今回の問題は、球ではなく、円柱と考えられるので、表面積は4πr^2にはならないので、総本数も4πkQ(4πkσl)にはならないと思います。

自分なりに考えてみると、電界E=総本数N/表面積Sで、表面積は、2πrl。総本数は、r離れたところで、kσ/ｒ^2で、これは、1ｍ^2当たりの本数なので、表面積全体では、kσ/ｒ^2×2πｒlかなと思いました。

ただ、どうも違うような気もします。

きっと解説があっているのだとは思いますが、どうして、☆のようになるのかと、自分の考え方のどこが間違っているのかがわかりません。

アドバイスをいただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

T-gamma

質問者さんが困っている(混乱している)根源ともいえる問題は比例定数ｋにあります。実はこのｋの中にすでに(1/4π)が含まれているのです。

まず、教科書に載っていると思いますが
ｋ=1/4πε0・・・(1)
です。ε0は真空の誘電率と呼ばれるものですが、今のうちはただの定数と思ってください。
こうすると
Ｎ=Q/ε0(=ES)…(2)
となります。つまり、「電気力線の本数Ｎは領中の総電荷Ｑに比例し、その比例定数は1/ε0である」ってことです。
ここで
“電荷Ｑから半径rのところの”の電場Ｅを考えます。表面積は4πr^2ですので
Ｎ=Q/ε0=E・4πr^2
E=(1/4πε0)・Q/r^2
でも、この形だと初学者から見ると「覚えにくいし分かりにくい」ってなってしまうので(1)のようにｋをおいて
E=k・Q/r^2
ってなるわけです。つまり、ｋ自体が「“電荷Ｑから半径rのところの”の電場Ｅを考えるため」に出てきた定数であるので、もとのガウス定理に戻ると
Ｎ＝４πkＱ
という、4πを含んでしまった式になるのです。個人的には(2)の方が理解しやすいと思いますけどね…。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼がおそくなり申し訳ありません。
式変形を繰り返していると、ぐるぐる同じところをまわっていて、結局自分がなにをしているのかわからなくなってきましたが・・・
自分でもやってみると、教えていただいたとおりになりました。
電気力線の本数は、域内の総電荷Qに比例するのですね。それは球でなくてもよいということですね。
大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

noname#53348

・まず電気力線の総本数についてですが、総本数は距離rとは無関係です。
Q(C)の電荷があれば、必ずN=4πkQ（本）の電気力線が電荷から発生します。
（実は高校の公式は覚えていませんが・・）
今回の問題の場合、単位長さあたりσ（C/m）の電荷がl(m)に渡って存在すると考えれば、電荷量はσl(C)ですね。
σl(C)の電荷があるので公式N=4πkQから、N=4πkσlとなるわけです。

考えてイメージを定着させてくださいね。
あくまでも電気力線は電荷から出ているのであって球面から出ているのではないですから、
総本数に関しては球面の表面積は関係ないのです。
電気力線の本数は球面（今回の問題のように球面でなくてもよい。領域といったほうが正確）内の電荷量のみに依存します。

この総本数を表面積で割り算すれば、単位面積あたりの電気力線の本数、すなわち電界になりますね。
ここでやっと領域の形や表面積が関係してくるわけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼がおそくなってしまい申し訳ありません。
＞σl(C)の電荷があるので公式N=4πkQから、N=4πkσlとなるわけです。
ガウスの公式N=4πkQというののの導き方、というところに、質問にも書きましたが、「総本数N=（kQ/r^2）×４πr^2」とあったので、やはり球面からでる本数についての公式なのではないかな、と思います。なっていると思います。

また、
＞あくまでも電気力線は電荷から出ているのであって球面から出ているのではないですから
と書いていただいたのですが、テキストには、
「球面上に一様に分布した電荷は、中心にすべての電荷が集まったのと同じ影響を周りに及ぼす」とありました。
これは、電荷が球面の中心からでようが、表面からでようが、電気力線の数は、同じだ、ということだと思いますが・・・

＞電気力線の本数は球面（今回の問題のように球面でなくてもよい。領域といったほうが正確）内の電荷量のみに依存します。
なるほど、そうだとすると、今回の解説の内容も理解できますが・・・
ガウス則の導き方とこの考え方が、いまいち矛盾しているような気がしてしまいます。理解不足ですみません。