電界について

質問

よろしくお願いします。
ガウスの法則の考え方を用いて電界の強さを考える問題なのですが、解説を読んでもよくわかりません。よろしくお願いします。

問題
点Oを中心とする半径aの球面上に正電荷が一様に分布し、全体では+Qとなっている。Oから距離r(r>a)離れた位置の電界を求めよ。

私は電気力線の数＝電界の強さだと思うので、ガウスの法則を用いると、半径aの球面上の電気力線の数は、4πa^2。半径rだと４πr^2ので、比例関係よりrＱ/aかなと思いました。

ですが、解説をみると、
対称性から電気力線はOを中心として球面から放射状に出ていく。その総本数Nは4πkQ本であり、―――☆
Oを中心とする半径rの球面上(表面積S=4πr^2)での電界をEとすると、Eは単位面積あたりの本数に等しいからE=N/S=4πkQ/4πr^2=kQ/r^2

とありました。
☆まではわかるのですが、その後の解説がよくわかりません。
ガウスの法則は、中心に点電荷+Ｑをおいたときの電気力線の本数を考えていますが、今回の問題文の「球面上に正電荷が一様に分布し、全体では+Qとなっている」というのが意味がよくわかりませんでした。

基本的なところだとは思いますが、アドバイスをいただければと思います。
よろしくお願いします。

回答No.3

PAM123

＊単位系が私の慣れてないもののようですので、係数に関しては
適当に読み替えて読んでください。

まず、
「ガウスの法則は、中心に点電荷+Ｑをおいたときの電気力線の本数を考えていますが、…」
が間違いです。

ガウスの法則は、
ある空間を囲む曲面を考えたときに、その曲面を突き抜ける電束密度Dの面積分は、その曲面内部の電荷総量に等しい。
ということです。

ある閉じた空間を囲む閉曲面を考えたとき
「Dの面積分」＝「囲まれた空間内部の電荷の総量」

大事なことは、Dの面積分が、内部の電荷総量（ここではＱ）だけによっており、内部で電荷がどう分布してようと、関係ないということです。

つまり中心に点電荷Qがあっても、中心付近にQ/2の電荷が２個あろうと、
Q/(4Πa^2)の電荷が半径aの球面上に一様に分布していようと、総量が
Qであれば、Dの面積分は同じ。
ということです。

なので Sを半径rの球の面積(S=4Πr^2)とすると、
半径rの「球面でのDの積分」=D・S （電荷分布が一様なので)
半径rの「球面内部の電荷の総量」= Q
つまり、
D・S = Q
D=Q/S =Q/4Πr^2

DとEの関係はD=εE(εは真空の誘電率）
から
E=Q/4εΠr^2

となります。

お礼

御回答ありがとうございます。
大学受験用なので、あまりよくわからないところがありましたが、
内部の電荷がどのように分布しているかが問題でなく、つまり中心であろうが、表面にかたまっていようが、それよりも、総量が大事ということですね。
なんとなくわかりました。

回答No.2

YHU00444

そもそもガウスの法則って、ガウスの定理（発散定理）を電束密度に対して応用したものだから∫(D・n)ds=∫(∇・D)dV=∫ρdVとなるはずで、これを見ても判るように右辺の∫ρdVは「閉曲面内の電荷の総量」を考えなくてはならないわけです。
で、今回のケースではD=εE=(1/4πk)Eだから（分極Pが0）、N=∫(E・n)ds=4πk∫ρdV=4πkQが電気力線の本数となる、というだけの話（なので、点電荷云々はあまり関係がない）。

まぁ、「球面上に正電荷が一様に分布」するというのは、正確にはポテンシャルの境界値問題か電荷密度の自己エネルギーで考えるべきなのでしょうが、単純に言葉で説明すると、
・正電荷同士は反発し合うので、互いに離れたい。
・しかし、球導体の外に出ることはできない。
・また、球導体の内部のポテンシャルは全て一様になる。
（ポテンシャル勾配があれば電流が流れて勾配が消滅するから）
・そのため、電荷は球の表面に球対称（一様）に分布する。
という感じになるかと。（こういう話を聞きたいんですよね？）

お礼

御回答ありがとうございます。
ただ高校の問題なので、式を書いていただいてもよくわかりませんでした。

回答No.1

Denkigishi

「球面上に正電荷が一様に分布し、全体では+Qとなっている」の意味
そのままの意味なので、これ以上の説明は困難ですね。
球体表面に均一に塗装をした時の「塗料の総量」と同じようなことですが。
既述で「ｋ」というのが書かれていますが、これが何なのかわかりませんが、私には必要ないので無視させて貰います。

ガウスの定理を球体に当てはめると、
［球体の表面の電界強度］×［球体の表面積］×［誘電率］＝［球体内に存在する電荷の総和］
となります。
ここで、ｒ＞ａ　という仮定を置くと、
［半径ｒの球体内に存在する電荷の総和］＝［半径ａの球体に分布している電荷］すなわちＱです。球体内部の電荷の形状は点電荷であろうが球体であろうが、ひょうたん型であろうがどんな形であっても構わないのです。
上の式を記号で書くと、Ｅ×４πｒｒ×ε＝Ｑ　となります。
よって、Ｅ＝Ｑ／４πｒｒε　が答です。

貴方のところでｋの意味が判るなら、つき合わせて見てください。

お礼

御回答ありがとうございます。
k=1/4πεです。