多面体（３２０面体）の展開図を作りたいのですが・・・

質問

私は美術をやっている者なんですが、現在、球に近い多面体を作品化しようとしています。しかし、多面体（正３２０面体？）の展開図を作りたいのですが、どうやったら出来るのか分かりません・・・
一辺が３０mm程度のものを作りたいのですが・・・

ちなみに、３２０面体はPC上では出来る様です。
ここで見付けました↓
http://www.sra.co.jp/people/aoki/Jun/Topics/TypicalHedron/index.html

本当は、その次の、１２８０面体を作りたいのですが、
３２０も出来ない様では、こちらは無理かもと半分あきらめています・・・
何か良い計算方法は無いものでしょうか・・・
出来れば、展開図の作成方法も知りたいです・・・悩んでいます・・・
こちらのHPも参考にさせて頂いたんですが、
（http://www.ed.ehime-u.ac.jp/~hirata/publish/tamentai/）
こちらのHPのプログラムを実行させるのに、
どう入力すれば３２０面体が表されるのか、私にはさっぱりでした。
どうか、皆様のお知恵を拝借させて下さい・・・
御早い御返答を切に願います・・・・・・

回答No.2

banakona · ベストアンサー

綺麗な展開図は恐らくできないでしょう。

正二十面体の展開図は下のような物です。
　　△ 　△ 　△ 　△ 　△
　△▽△▽△▽△▽△▽
　▽　 ▽ 　▽ 　▽ 　▽　　　　（当然ながら実際には隙間がありません。）

八十面体は正二十面体の各面を４分割して膨らませるものらしいので、正二十面体の１面を、対応する八十面体の４つの三角形で
　　　△　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　△▽△　　と表し、位置を　ＢＣ Ｄ　で表すと
Ｃが正三角形、Ａ、Ｂ、Ｄが少し潰れた２等辺三角形になります。
従って、正二十面体の展開図に重ねると隙間があくことになります。

３２０面体は八十面体の各面を４分割するので、更に隙間があくことになるでしょう、おそらく。
だから３２０面体を１枚の展開図にするのは諦め、幾つかの要素を寄せ集めた方がいいと思います。私は、４つの三角形から成る要素８０個で形状を算出してみました。

８０面体のＣ の位置に来る要素（２０個）　
　　　△　　　　　　　　　　　　　　　Ｅ
　△▽△　　と表し、位置を　ＦＧＨ　で表すと
　　Ｇの三角形　１辺約３６．３３ｍｍの正三角形　
　　Ｅ、Ｆ、Ｈの三角形　底辺約３６．３３ｍｍ、斜辺約３４．９８ｍｍの２等辺三角形　

８０面体のＡ、Ｂ、Ｄの位置に来る要素（６０個）
　　　△　　　　　　　　　　　　　　　Ｊ
　△▽△　　と表し、位置を　ＫＬＭ　で表すと
　　Ｌの三角形　　底辺約３５．９２ｍｍ、斜辺約３１．９２ｍｍの２等辺三角形
　　Ｊの三角形　底辺約３５．９２ｍｍ、斜辺約３０．８４ｍｍの２等辺三角形　
　　Ｋ、Ｍの三角形　３辺が約３１．９２ｍｍ、約３０．８４ｍｍ、約３４．９８ｍｍの三角形　

Ｋ、Ｍの三角形は、要素内で、３４．９８ｍｍの辺が同じ側に来るように配置してください。
できあがる３２０面体の直径は２２．４ｃｍくらいになるでしょう。
いちおうエクセルで算出したのですが、計算違いがあったらごめんなさい。

回答No.3

banakona

＃２です。

いきなり３２０面体を作って、計算ミスがあったら申し訳ないので、そのベースになった８０面体のデータを示します。これがうまくいったら３２０面体を試してみてください。

２０面体の各面に対応する要素を　
　　　△　　　　　　　　　　　　　　　Ｅ
　△▽△　　と表し、位置を　ＦＧ Ｈ　で表すと

　　Ｇの三角形　１辺約６９．１０ｍｍの正三角形　
　　Ｅ、Ｆ、Ｈの三角形　底辺約６９．１０ｍｍ、斜辺約６１．１０ｍｍの２等辺三角形　

これを２０個よせあつめて８０面体が無事できたら多分、大丈夫でしょう。本当は私自身が試してみるべきですが。

なお、＃２ともども数値がけっこう汚いですが、これは、以前、二十面体の計算をしたときに、ちょっとややこしい箇所を１と置き、今回それを流用したためです。

お礼

大変丁寧な御返答、感謝致します。
質問してから自分でもう一足掻きしてみたのですが、うまくいかず、
断念しそうになりましたが、これをみて、再チャレンジ致します。
まず、８０面体からやってみます。

＞本当は私自身が試してみるべきですが。
いえいえ、ここまでやって頂いたので、十分です。
お気持ち嬉しく思いました。

ありがとうございました。

回答No.1

Quattro99

最初のサイトのball 2を作ろうということかと思いますが、まず、構成する三角形がどのような形かがわからないと展開図の作りようがないと思います。
そのサイトの図を見ると、一つの頂点に辺が6本集まっているところと5本集まっているところがありますが、6本集まっているところを考えると構成する三角形が正三角形ではその面は平面になってしまいますから正三角形ではないはずです。
私にはどういう三角形なのかわからないので解決にはならないのですが。

※ 正320面体ではありません。正多面体は正20面体までしかありません。正多面体は合同な図形で構成され、すべての頂点に集まる辺の数が等しいものという条件があります。

お礼

御返答感謝致します。
そのご指摘、ごもっともでした。正三角形では３６０°になってしまい、
平面になるため、どうやら二等辺三角形のようです・・・
正多面体へのご指摘もありがとうございます。そうですよね;