無限室あるホテルが満室？

質問

No.30169のnathさんの質問を再掲させていただきます。
「無限室のホテルがあるとして、今このホテルが満室になっているとする。
新しい客がホテルにきたら、その客はこのホテルに泊まれるのでしょうか？」

この質問に対してstomachmanさん、ozapanさんのいずれも「泊まれる」との回答でした。

私がこのことが理解できなかったのでもう少し詳しく教えていただきたいと思い
質問させていただきます。

新しい客が泊まれるとしたらその客のための部屋が空いていたということになり
満室ではないような気がします。

素人考えですが、
「満室にはなり得ない」
あるいは
「満室で新しい客は泊まれない」
のいずれかしかないと思うのですが、いかがでしょう？

回答No.5

noname#254

Stomachman師匠がまだいらしていない？　では、軽く露払いを。

　実は「無限ホテル」の話は、「無限」概念を扱った本ならたいてい載っているものです。だから僕でも知ってた。（質問した人も知ってて質問してた気配が…）
　では、露払いということで、「無限」の話を…。

　「無限」の世界では、われわれの日常的な感覚を裏切る、奇妙なことが起こります。ユークリッド公理の一つ、「部分は全体より小さい」が成り立たなくなるのもその一つです。
例えば「自然数と平方数は、どちらがより多くあるか」。自然数は「１，２，３，４…」と増えていきます。平方数は「１，４，９，１６…」と、自然数に比べて飛び飛びに増えていきます。ここから考えると「平方数は自然数の一部である（平方数の集合は自然数の集合に対して部分集合だ）」と言えそうです。つまり「平方数は自然数より少ない」。
　ところが、よく見ると、一つ一つの平方数には「１」「２」「３」…という「ラベル」が付けられるのです（もともと、その数の平方ですから）。ということは、自然数が増えていけば、それと同じ個数の平方数が存在する…ということになります。
　19世紀から20世紀初頭のドイツの数学者カントールは、このような考察をして、「無限集合とは、その部分集合との間に１対１の対応がつけられる集合である」と定義しました。このことは同時に、「部分は全体より小さい」という公理は、無限集合に関しては適用できないということも意味します。

　それで…それでもって…で…えーと…
　とゆーわけで、あとはstomachman先生にお願いします！

p.s.nanashisanさんへ。隣への引越しは有限時間内に済みます。各自が荷物をまとめて隣に移るだけですから。「荷物が無限にある」となると大変ですが。

補足

質問した人も知っていた気配が、とはnathさんの事ですよね？
私のは素人の考える所の「無限」でしたが、みなさまから思いっきり「数学」の解答が・・・素人が安易に質問すべきではないですね。
まずは「無限」を理解するところからですね。
自然数とその平方数が同数…なんか分かりそうな気がしてきました。
ありがとうございました。