平面の方程式の問題です

質問

平面Π：(x,y,z)=s(1,2,3)+t(4,5,6)+(7,9,8)の式をax+by+cz+d=の形で表したいのですが、どのようにやればいいかがわかりません。どなたかご存知の方よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1です。A#1でお示しした回答で
ご自分でs,tのの連立方程式が解けないですか？
s=(-5x+4y-1)/3
t=(2x-y-5)/3
これをzの式に代入すれば
z=3s+6t+8=-x+2y-3
左辺にすべて移項すれば
x-2y+z+3=0
これが求める平面の式です。

この式は#3さんの結果と一致しますね。

自分で教科書あるいは参考書を復習して実際に問題を解かないと
数学の実力が付きませんよ。頑張ってちゃんと解いてくださいよ。

回答No.5

kkkk2222

＞＞(x,y,z)=s(1,2,3)+t(4,5,6)+(7,9,8)

（＃１）
(x,y,z)=s(1,2,3)+t(4,5,6)とすると、(1,2,3)、(4,5,6)は、独立なので、直線ではなく、原点、(1,2,3)、(4,5,6)を通る平面を表す。＜ふたつのベクトルが（張る平面）＞
＊平面はＡ’Ｘ＋Ｂ’Ｙ＋Ｃ’Ｚ＝０　と書ける。

(x,y,z)=s(1,2,3)+t(4,5,6)は、ｘｙ、ｙｚ、ｚｘ平面ではないので、Ａ’≠０、Ｂ’≠０、Ｃ’≠０
＊平面はＡＸ＋ＢＹ＋Ｚ＝０　と書ける。

(1,2,3)、(4,5,6)を代入して、
ーーー
Ａ＋２Ｂ＋３＝０
４Ａ＋５Ｂ＋６＝０
ーーー
４Ａ＋８Ｂ＋１２＝０
４Ａ＋５Ｂ＋６＝０
ーーー
３Ｂ＋６＝０　　＜Ｂ＝－２、Ａ＝１＞
ーーー
∴　平面は　Ｘ－２Ｙ＋Ｚ＝０　（＃＃）
ーーー

（＃２）
(x,y,z)=s(1,2,3)+t(4,5,6)+(7,9,8)は、
Ｘ－２Ｙ＋Ｚ＝０　（＃＃）を(7,9,8)平行移動した平面なので、

（Ｘー７）－２（Ｙー９）＋（Ｚー８）＝０
Ｘ－２Ｙ＋Ｚ＋（－７＋１８－８）＝０
Ｘ－２Ｙ＋Ｚ＋３＝０、とでます。

尚、ＰＡＲＡＭＥＴＥＲ　ｓ、ｔを消去する方が＜論証の必要がない＞ＭＥＲＩＴがあります。（式変形だけで、解が求められます。）

上記の（解）は＜論証の必要がある＞ＤＥＭＥＲＩＴがあります。ＭＥＲＩＴは、
＊式の意味の把握。
＊計算が早くできる・・・。

回答No.3

fukuda-h

ベクトルを使う方法はもう出ていますからもっと素朴に点を使う方法です。
平面は３点で定まりますから、３点を通る平面を求める方針でいきます。
s＝t＝0のとき(7,9,8)
s＝1,t＝0のとき(8,11,11)
s＝t＝1のとき(12,16,17)
この３点を通る平面を
ax+by+cz+d＝0
とおくと
7a+9b+8c+d＝0・・・・・（1）
8a+11b+11c+d＝0・・・・(2)
12a+16b+17c+d＝0・・・・(3)
が成り立ちます。後はこの連立方程式を解いていきます。
(2)-(1),(3)-(2)から
a+2b+3c＝0・・・・(4)
4a+5b+6c＝0・・・・（５）
(5)-(4)*2から
2a+b＝0よりb＝-2a
(4)へ代入してc＝a
平面の式はax-2ay+az+d＝0とおける
また、(7,9,8)を通るので7a-18a+8a+d＝0からd＝3a
よって,
ax-2ay+az+3a＝0
a＝0のときは平面を表さないのでaは0でない
aで割って求める平面の式はx-2y+z+3＝0
こんなもんでどうでしょう

回答No.2

zk43

(1,2,3)と(4,5,6)に直交するベクトルを求める。つまり、平面の法線
ベクトルを求める。（外積とか使って）これを(a,b,c)とする。
（大きさの任意性があるが、大きさは何でもよい）
次に、平面上の任意の点を(x,y,z)とすると、(7,9,8)は平面上にある
ので、(x,y,z)-(7,9,8)=(x-7,y-9,z-8)と(a,b,c)は直交する。
したがって、その内積は０だから、
(x-7,y-9,z-8)・(a,b,c)=0より、目的の表示が得られる。
（(a,b,c)と大きさが違う(ta,tb,tc)にしても、全体にtがかかるので、
実質的に同じ表示になる。）

回答No.1

info22

>平面Π：(x,y,z)=s(1,2,3)+t(4,5,6)+(7,9,8)
これを書き換えると
x=s+4t+7…(1)
y=2s+5t+9…(2)
z=3s+6t+8…(3)
方法は(1)と(2)をs,tの連立方程式と見なして
s=
t=
を求めます。s,tはx,yの式となります。
このs,tを(3)に代入して整理すればx,y,zだけの直線の式ができます。

自分でやって解を書いて質問するようにしてください。