k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ＜1 の最大値

質問

a,b,c,d(a≦b≦c≦d)は自然数で，
k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ＜1
を満たしている．
k の最大値と，そのときの a,b,c,d の値を求めたいのですが、、、。

a=2。としてよいでしょうか？

４変数の問題をn変数に変えても、a,b,c,dの値は常に等しいでしょうか?

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

この問題、面白いなと思ってもう少し考えてみたのですが、
k=1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n)
としてkが最大になるように数列a(n)を決めていくと、
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43,a(5)=1807,a(6)=3263443,…
となって、
a(n)=a(1)a(2)…a(n-1)+1
という漸化式を満たすようです。
積の形になっているので、a(n)は爆発的に増えていきます。

a(2)を決めるときは1/2に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/3。よって、a(2)=3。これは漸化式を満たす。
そして、1/2+1/3=5/6
a(3)を決めるときは5/6に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/7。よって、a(3)=7。これは漸化式を満たす。7=2×3＋1。
そして、1/2+1/3+1/7=41/42
このように、ある項までの1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(k)は、
{a(1)a(2)…a(k)-1}/a(1)a(2)…a(k)の形になっている。
そして、次に足すのは1/{a(1)a(2)…a(k)+1}である。
よって、a(k+1)=a(1)a(2)…a(k)+1

このようなメカニズムになっているようです。

回答No.3

noname#47975

よく間違いやすい事柄だと思いますが、

1/a + 1/b + 1/c < 1
1/c < 1 - （1/a ＋ 1/b）とし、
1/a + 1/b ≦ 5/6より、
1/c < 1/6より、

c = 7のとき最大値をとる可能性がある
というのは厳密性にかけてしまうと思います。

反例を申し上げると、1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/4 < 1の場合
は1/c < 1/6を満たしません。
正確なｃの範囲を定めるためには、以下のような形になるかと思います。

1/c < 1 - 1/a - 1/bにおいて、
1/c < 1 - (1/a + 1/b)

a≦b≦cより、

1/a ≧ 1/c 1/b ≧ 1/cとなる事から、
1/c < 1 - (1/a + 1/b) ≦ 1 - (1/c + 1/c)
1/c < 1 - 2/c
3/c < 1
1/c < 1/3
c > 3より、
c≧4

まず、7≦cの範囲において、

1/a ≦ 1/2、
1/a ≦ 1/2 かつ1/a + 1/b < 1より、1/b ≦ 1/3 、
7≦cより、1/c ≦　1/7より、
1/a + 1/b + 1/c ≦ 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42 < 1となる事から、
a = 2 , b = 3 , c = 7のとき最大になるというところまでは証明されて
いますね．．。
後、4≦c≦7の範囲において、それを超える最大値が存在しない事も
同時に証明しなければならないと思います。

Ｐ．Ｓ．

４変数くらいならば、範囲の絞込み・代入を繰り返して最大値を求める事
は可能ですが、ｎ変数となるとかなりの難題のように思えます。

ちなみに、４変数のときは、a = 2 , b = 3 , c = 7 , d = 42である事は
確認いたしました…。

回答No.2

hossyou

a=2。としてよいでしょうか？⇒ＹＥＳ
４変数の問題をn変数に変えても、a,b,c,dの値は常に等しいでしょうか?⇒ＹＥＳ

まず1変数の場合
aは自然数で，
k= 1/a ＜1 を満たしている．
k の最大値と，そのときの a の値
aは自然数kの最大値はk<1ならa=2のときk=1/2

2変数の場合
a,b(a≦b)は自然数で，
k= 1/a + 1/b ＜1を満たしている．
k の最大値と，そのときの a,b の値
（１）a=2のときk=1/2+1/b<1　∴1/b<1-1/2=1/2
bは2以上の自然数だからb=3のときk=1/2+1/3が最大
（２）a>2のときk=1/a+1/b<1　∴1/b<1-1/a
　1/aはa=2のとき最大で1/2だから1/b<1-1/a<1-1/2=1/2
したがって1/bはb=3のとき最大となりうる
　したがってk=1/a+1/b<1/a+1/3<1/2+1/3
したがってa>2のときkは最大値とならない。
（１）（２）よりkはa=2,b=3のとき最大

3変数のとき
a,b,c(a≦b≦c）は自然数で，
k= 1/a + 1/b + 1/c ＜1 を満たしている．
k の最大値と，そのときの a,b,c の値
（１）a=2,b=3のとき
k=1/2+1/3+1/c<1 ∴1/c<1-1/2-1/3=1/6
ｃは3以上の自然数だからc=7のときk=1/2+1/3+1/7が最大
（２）a=2,b=3以外のとき
K=1/a+1/b+1/c<1 ∴1/c<1-(1/a+1/b)
1/a+1/bはa=2.b=3のとき最大で5/6だから1/c<1-(1/a+1/b)<1-5/6=1/6
したがって1/cはc=7のとき最大となりうる
したがってk=1/a+1/b+1/c<1/a+1/b+1/7<1/2+1/3+1/7
したがって、a=2,b=3以外のときはkは最大となりえない
（１）（２）よりkはa=2.b=3,c=7のとき最大

以下同様

回答No.1

zk43

分母が小さい方がｋは大きくなるので、なるべく分母の小さい方から
考えていきます。
まず、ａ＝１はだめなので、ａ＝２
ｋ＝１／２＋１／ｂ＋１／ｃ＋１／ｄ
ｂ＝２とするとｋが１を超えるのでだめで、ｂ＝３
ｋ＝１／２＋１／３＋１／ｃ＋１／ｄ
　＝５／６＋１／ｃ＋１／ｄ
ｃ≦６とするとｋが１を超えるのでだめで、ｃ＝７とすると、
ｋ＝５／６＋１／７＋１／ｄ
　＝４１／４２＋ｄ
ｄ≦４２とするとｋが１以上になってしまうのでだめで、ｄ＝４３とす
ると、
ｋ＝４１／４２＋１／４３＝１８０５／１８０６
ｋが１未満に収まった。非常に１に近い。
これが最大と思われますが、検証してみてください。

一般のｎ変数の場合は？一般的な解法があるのか？
分かりません・・・

ｋ＜１という条件がなければ、ｋ≦ｎ／ａからｎ／ａが最大になるので
すが、こんなのは問題にならないか。