斉次連立一次方程式とは?解法を理解したい
- 斉次連立一次方程式についての質問です。斉次連立一次方程式とは、一次方程式の係数がすべて0でない方程式のことを指します。鉛直方向と水平方向のつりあい式を例に取りながら、その解法について詳しく解説します。
- 斉次連立一次方程式の解を持つためには、ある定理より、「|cosθ|」「|sinθ|」の行列のランクが等しくなければならないとされています。これを満たすためには、「|cosθ H|」「|sinθ V|」の行列のランクが1であり、「|cosθ H|」「|sinθ V|」がなんらかの外力Tに比例する形になっている必要があります。
- また、斉次連立一次方程式の一般解を求めるためには、「|cosθ H|」「|sinθ V|」の行列の対1列が0ベクトルでなく、全体のランクが1以下であることが必要です。第2列の縦ベクトルは第1列に対し1次従属でなければならず、この条件を満たすことで、連立方程式の一般解が得られます。指導を受けながら、斉次連立一次方程式の解法について理解を深めましょう。
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斉次連立一次方程式?
学校の課題でちょっと分からない問題があります。 助けてください。 S:部材力(張力や圧縮力で引っ張りを+) H:水平方向の力 V:鉛直方向の力 とした時に、鉛直方向・水平方向のつりあい式が Scosθ=H Ssinθ=V のようになる図があったとして,これが解を持つためには、ある定理より |cosθ| |sinθ | ←(すいません行列です。) と |cosθ H| |sinθ V | のランクが等しくならなければならないので、 これを満たさなければならなくて、左辺のランクが1、右辺のランクが2より ランクの定理から |cosθ H| | | = 0 ・・・・・・・・・・(*) |sinθ V| であることが必要かつ十分だそうなんです。ここまではバッチリなんですが 問題は次なんです。 (*)ということは、つまりTをある任意の大きさの外力として |H| |cosθ| | |=T×| | ・・・・・・・・・(**) |V| |sinθ | でなければならない。 とあるんですが、これはどうしてなんですか? 解答には、 『(*)の行列の対1列は0ベクトルでない。全体のランクが1以下であるためには、第2列の縦ベクトルは第1列に対し1次従属でなければならない。したがって(**)が成立する。』 とあるんですが、なんで0ベクトルでないのか?、(**)が言えるとなんで1次従属なのか?よく分かりません。また、 『(*)を H、Vに関する斉次連立方程式の一般解としても、(**)が求められる。』 とも書いてあるんですが、その解法がよく分かりません。 特に斉次連立1次方程式による解法の方を理解したいです。指導よろしくお願いします。
- fulikuli
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縦でなく横ベクトルで書きますが, 読み替えて下さい. ベクトル→a=(cosθ, sinθ) は絶対値(大きさ)が|→a|=√{(cosθ)^2 +(sinθ)^2}=1(≠0)です. また→u=(H,V) として,(**)<==> →u=T(→a) なので,大ざっぱに言って→uと→aは(広義の)平行ですからまさに1次従属です. 正確に言っても →u-T(→a)=→0(ゼロベクトル)で, p(→u)+q(→a)=→0 について (p,q)=(1,-T)≠(0,0) なる自明でない実数の組(p,q)が存在する,これは1次従属の定義どおりです.
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