因数分解を使って

質問

子供の問題集ですが、解答集がありませんので助けてください。
a,bが正の整数の時、a^2=b^2＋49が成り立つaとbをもとめたいのですが、 a^2=b^2＋49
a^2-49=b^2
(a＋7)(a-7)=b^2
ここまでやってみましたが、この先の解き方がわかりません。
ちなみに、a^2=b^2＋49
a^2－b^2=49
(a＋b)(a-b)=49
とすると、49=7x7と49=1x49しか浮かばず、これもまたわかりません。
すみませんが、わかりやすく説明していただけませんか?

回答No.1

noname#74443 · ベストアンサー

(a+b)(a-b)=49から
a+b=49
a-b=1

これを解くとa=25,b=24

お礼

ありがとうございました。言われてみればそうですね。すっきりしました。

回答No.4

Quattro99

> 49=7x7と49=1x49しか浮かばず
49を素因数分解すると7＾2ですから、掛け合わせて49になる正の整数の組はその組み合わせしかありません。
a、bが正の整数という条件ですから、a+bもa-bも整数です。また、a+bは正の整数ですから、(a＋b)(a-b)=49が成り立つにはa-bも正の整数ということになります。
従って、あとは#2さんの回答のようになります。ただ、0は正の整数ではありませんので(7,0)も除外されます。

#3さんの
> 普通に考えても正方形Ａ（a^2）と正方形Ｂ（b^2）の面積の差が49
って場合、答えは一意に定まりますよね。
はおかしいのでは？
整数でなければ無限にありますし（文字が2つで等式が1つですから）、正の整数という制限があっても例えば、a^2=b^2+15は(4,1)でも(8,7)でも成り立ちます。

お礼

丁寧に教えていただいて、有難うございました。0が正の整数ではないとは思っていたのですが、確信がありませんでしたのですっきりしました。

回答No.3

FEX2053

>49=7x7と49=1x49しか浮かばず、

ここまで来ているなら解けているのと同じじゃないですか。
a+b=49、a-b=1の値を求めればいいんですよね。

普通に考えても正方形Ａ（a^2）と正方形Ｂ（b^2）の面積の差が49
って場合、答えは一意に定まりますよね。

お礼

ありがとうございました。もう一押しが足りませんでした。

回答No.2

mydecklin

(a+b)(a-b)=49で、これを満たす正の整数は
(1)7×7
(2)1×49
(3)49×1
です。だから、連立方程式を用いて、
(1)の場合、a+b=7とa-b=7から 2a=14 → a=7、b=0 が求まります。
同様に(2)の場合、 a+b=1とa-b=49から 2a=50 → a=25、b=-24 が求まります。これはbが負なので題意を満たしません。
(3)の場合、 a+b=49とa-b=1から 2a=50 → a=25、b=24 が求まります。

以上より、(a,b)=(7,0)、(25,24)となると思います。

お礼

丁寧に教えていただいてありがとうございました。