-PR-
締切済み

(sinX)^n の積分

  • すぐに回答を!
  • 質問No.29526
  • 閲覧数2931
  • ありがとう数17
  • 気になる数0
  • 回答数3
  • コメント数0

お礼率 22% (2/9)

(sinX)^n の積分はどうしたらいいのですか?
教えてください.
通報する
  • 回答数3
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

J[n] = integral (sin x)^n dx
とおくと、
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2] (n≠0)
です。
n<0の場合はこの漸化式を逆向けに使います。
J[0],J[1]はわかりますよね。


  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

......。
J[0]=integral dx = x
J[1]=integral sin x dx = -cos x
です。
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2]
をxで微分してみれば、(sin x)^n になるのが確かめられます。
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 56% (50/89)

∫sin^n X dX

=∫[sinX・sin^(n-1)X ] dX

=∫[(-cosX)'・(sinX)^(n-1) ] dx

=-cosX・sin^(n-1)X-∫(-cosX)・(n-1)・sin^(n-2)X・cosX dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・cos^2 X dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・(1-sin^2 X) dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^(n-2)X・sin^2 X dX]

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^n X dX]

よって n∫sin^n X dX=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX より ∫sin^n X dX=1/n・[-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX ] となります。

部分積分を使い漸化式の形にします。
このQ&Aで解決しましたか?
AIエージェント「あい」

こんにちは。AIエージェントの「あい」です。
あなたの悩みに、OKWAVE 3,500万件のQ&Aを分析して最適な回答をご提案します。

-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


専門家があなたの悩みに回答!

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ