- 締切済み
円錐の容積について
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これは解き方を工夫しないとけっこうややこしい式になってしまいます。 過去に一度解いているので、それを参照してください。 http://okwave.jp/qa2100320.html
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
円錐の底面の円の半径をrとすれば、 高さは√(a^2-r^2)なので、体積Vは V={πr^2√(a^2-r^2)}/3 Vをrの関数と見て微分して、0<r<aで Vが最大になるrの値をみつけます。 もとの扇形の中心角をx度とすれば、 底面の円の円周は2πa(x/360)・・(1) 一方、底面の円の半径はrだったので 円周は2πr・・(2) (1)=(2)なので、x=360r/a ここに、さっきのrの値を入れれば求められます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
問題が要領を得ないけど、zap35 さんの図で言うところの AC が一定値 α ということかい? (つまり半径αの円を扇形に切り抜いて、メガホンのようにくるくる巻いて円錐を作ると)
補足
つまり半径αの円を扇形に切り抜いて、メガホンのようにくるくる巻いて円錐を作ると ↑ はい。まったくその通りです。 与えられた条件が、「最初に半径αの円があること」「容積が最大となる円錐容器を作ること」「円を角度θの扇形にすること」「微分積分をできるだけ利用すること」です。
- wakattatsu
- ベストアンサー率20% (13/65)
この問題と類似の入試問題を最近見たことがあります... 探せばスマートな形でまとまっていると思います。 扇形の半径をα、拡がった角度をR度とします。 円錐の底部の円周= 2πα・R/360 底部の半径をrとおく r=α・R/360 円錐の高さhは h=α・√(1-(R/360)^2) 円錐の底面積 πr^2=π(R/360)^2・α^2 体積は 1/3・π(R/360)^2・α^2・α・√(1-(R/360)^2) 整理して 1/3・α^3・π(R/360)^2・√(1-(R/360)^2) これを最大にするRを求めたらいいのではないでしょうか? 式の変形、自信がありません。
お礼
とても見やすくて丁寧な回答ありがとうございます。
- zap35
- ベストアンサー率44% (1383/3079)
A ∧ /| / | / | ∠--- C B 形は崩れると思いますがご勘弁を… 円錐の体積はBCを半径とする円の面積×高さ(=線分AB)÷3ですね。半径αが線分BCに相当します。 円錐の体積が最大にするためには∠ACBが90°に限りなく近いほうが△ABC三角形の面積が大きくなります。=円錐の体積も大きくなります。(極限値は円柱の体積になります) これは微分ではなく積分の問題ですね。
お礼
とても早い回答ありがとうございます。 積分の問題であることはわかりますが、条件に微分を使うようにとあったので、よくわからなかったんです。
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お礼
夜遅くにわざわざ回答してくださってありがとうございます。 さっそく試してみます。