lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明、sinｘの定義

質問

• 高校の教科書では、(sinｘ)/x=1 の証明が挟み撃ちの原理によって行われています。
• しかし、厳密な証明は面積を用いて行われるため、循環論法になってしまいます。
• sinｘの定義とともに、(sinｘ)/x=1 の厳密な証明を教えてください。

回答No.5

ringohatimitu

連続関数の（広義）積分、単調関数の逆関数、それらの微分（微積分学基本定理）から出発すれば厳密にしかも大変見通し良く議論展開することができます。個人的な話ですが昔三角関数の定義などの欠点を色々考えてるうちにこの純解析的方法で定義したらすべてうまくいったのでこれが最良かつ明確だと思ってます。すなわちまずarctanを1/(1+x^2)の[0,t]上での積分として定義しtanをその逆関数として定義します（対数関数、指数関数と同じですね）。次にπ/2を[0,∞]上の積分値として定義します（収束は明らか）。cosはtanとの関係式（これは幾何学的考察によるものですが解析的には単に別の関数を定義したという感じですね）から定義されさらにsinもcosから定義されます。符号、積分、逆関数など多少面倒な手続きですが厳密性を求める上ではしょうがないです。このsinを実際に自分で書き下してみれば分かりますが、求める極限はロピタルを使うだけで大丈夫です。変数変換や逆関数の微分や合成関数の微分など初等的手続きだけですぐ得られますので試してみてください。

お礼

ありがとうございます。
そもそもsinxの定義をどうするかですね。

１.複素関数exp(z)=Σ_{n=1}^{∞}z^n/n!とし、sin(z)=(exp(iz)-exp(-iz))/(2i)と考える。

２．logx=∫[1,x]1/xで定義し、逆関数で、exp(x)を定義し、解析接続で複素関数にし、sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)と考える。

３．∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dxの逆関数が、sinx。

４． sin(x) = x/1! + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! +...で定義。

５．f''(x)=-f(x),f(0)=0で定義。

どれも一長一短がありそうですね。
本質的に違う他の定義の可能性はあるのかなあ。

sinxで、xは単位円の弧長（角度）を表していると考えて、幾何学を展開するのであれば、３がよさそうな気がします。

補足

ありがとうございます。
解析概論では、有理関数の積分から三角関数を導く立場に固執するなら、
∫[0,x]1/(1+x^2)dx
から出発するのが自然であるが、その過程は単純でない。
もし、三角関数が知られていなければ、円弧の計算上、自然に
∫[0,x](1-x^2)^(-1/2)dx
に遭遇するだろう。

と書かれていました。