薄膜の各ｎ，ｋから透過率を計算するには？

質問

以下の構造の試料の透過率を，以下の光学定数を用いて表そうと考えています。入射方向は 1. → 4. で，波長はλ[nm]，垂直入射です。

1. 空気 n0 = 1.0
界面1（r1, t1）
2. 吸収のある薄膜 n1 - i k1, d = 100 nm
界面2（r2, t2）
3. 吸収のある基板 n2 - i k2, d = 1 mm
界面3（r3, t3）
4. 空気 n4 = 1.0

こう書くとレポートのように見えるかもしれませんが，レポートなどではなく研究で困っています。UV-Vis 透過吸収スペクトルのみを用いて薄膜部分の膜厚を求める必要性が生じ，何せ非専門の分野ですので非常に困っております。とりあえず，お伺いしたい点が２点あります。

1. 計算の流れとして，各界面におけるエネルギー透過率 T1, T2, T3 を計算し，T_total = T1 * T2 * T3 とすればよいのでしょうか？

2. 吸収を含む膜内多重干渉の取り扱い方が分かりません。すみませんが，T2=…という式で解いていただけないでしょうか？

どうか，よろしくお願いいたします。

回答No.7

noname#11476 · ベストアンサー

>（１）Ｙはすべて通分されてなくなってしまうと思うのですが，それで宜しいのでしょうか？
多分そのようになると思います。
Ｙは真空中のアドミッタンスで、この概念が電気回路の方から導入された物です。
計算上このようにした方が分かり易いと言うことで使われています。

>（２）δの中身の虚部は，最終的にはどう処理すればよいのでしょうか？
既におわかりのように、式の上では強度計算のために複素数の絶対値の２乗をとっています。
つまり、複素数×複素数のｃ．ｃ．を行っているので答えは実数となります。

>（３）α = 2κ = 2*Im[N1]，すなわち薄膜部分の虚部の２倍で良いのでしょうか？
薄膜ではなくて、基盤の消衰係数 Im[N2] = κ2の２倍（α= 2*κ2)です。
これは、電場E = exp [ - i * (N * k・r - ωt) ] という式を考えると、N = n - i * κを代入して、
（ここで、k・r は、k,rをベクトルとして・は内積記号です）
E = exp [ -i * (k・r - ωt) ] * exp [ - κ * k・r ]
と、第二項は吸収を表します。電場の二乗が光強度に比例しますので、
I = |E|^2 = E * E~(c.c)
とすると、吸収項は　exp [ - 2 * κ * k・r ]
となります。なので吸収係数は α = 2 * κ となります。

>（４）ｄは薄膜部分のみの厚みで良いかと思いますが，Ｌは基板のみ厚みでしょうか？
　　　それとも薄膜部分も含んだ厚さなのでしょうか？

基板のみの厚みです。初めの方の境界面ａは、既に空気－薄膜－基板間を厚み０の一つの境界面ａで代表させていますので。

では。

お礼

大変参考になりました。素人相手にもかかわらず非常にご丁寧に教えてくださり，本当にありがとうございました。

式が多少複雑になりましたので，膜厚計算は VB でプログラムを組もうと思います。ありがとうございました。

補足

実際に数値を入れて計算させて見ましたところ，

誤：Tb = 4*Re[η2]Re[η0]/{(η2-η0)*(η2-η0)~}

正：Tb = 4*Re[η2]Re[η0]/{(η2+η0)*(η2+η0)~}

ではないかと思います。これで，大体正しいスペクトルを得ることができました。この度は，大変ありがとうございました。

回答No.8

motsuan

No.2の私の回答ですが
転送行列ではなくて伝達行列というそうです。間違って覚えてた。。。
訂正してお詫びします。

mickjey2さんと一致すると思いますが、折角のなので。

式はたぶん教科書と一緒じゃないかなと思います。
要は屈折率のところに複素屈折率を代入すればよろしいのではないでしょうか？
http://surf.ap.seikei.ac.jp/abstract/
・前田　真 「傾斜屈折率多層膜フィルタの光学特性」　maeda.pdf

記号が違いますが、
求める式は以下に示すT_nを使って、
(a_n,0) = ΠT_k (a_0,b_0) (k=0～n)
になると思います。
a_nが入射方向の振幅、b_nが反射方向の振幅です。
Πは行列の積を表しています。

T_n = (1/(2k_{n+1))
　　　×
　　　[ (k_{n+1}+k_n), (k_{n+1}-k_n) ]
　　　[ (k_{n+1}+k_n), (k_{n+1}-k_n) ]
　　　×
　　　[ exp(ik_n D_n), 0 ]
　　　[ 0, exp(-ik_n D_n) ]，
ただし、
[　,　]
[　,　]は２×２行列、
k_nは真空中の波数に複素屈折率を掛けたもの、
D_nはn層目の膜厚で界面を通ったあとにD_nだけ進んだあとの
振幅を計算しています。
つまり
　　｜　　　　｜
－→｜　Ｄ_n　｜－→
　　｜　　　　｜
として、左から入射するとすると、左側の界面で、
その左側の振幅がa_n,b_n,
右側の界面で、その左側の振幅がa_{n+1},b_{n+1}です。
ややこしと思います。

あとフィッティングですが最大エントロピー法とかいうのがあって、
サンプリング周期が１周期よりも短い場合でも
精度よく周期を検出できるようです。
http://www2e.biglobe.ne.jp/~M_Okuda/study/masterpaper/

お礼

ご回答，大変ありがとうございます。これを機に，光学についてもっと真剣に勉強しようと思います。今後も，どうかよろしくお願いいたします。

回答No.6

noname#11476

蛇足ですが、特性方程式の導出方法は、まさにNo.1,No.2の方がお話しされているような手法で行います。
このような取り扱い方は、元々電気回路学の方から得た知見を光学に適用した物です。
（なので私の推薦した本にはNo.1の方の書かれたやりかたが載っています）

回答No.5

noname#11476

多分お急ぎでしょうから、完全に式を展開した形ではありませんが、計算できる形でのせますね。
まず、考え方としては、「空気－薄膜－基板」の干渉効果を見込む必要のある層を一つの特殊な境界層ａとして考えます。
そうすると、反射／屈折の層はいま定義した境界層ａと基板と空気間の層ｂの２つに限られます。
このとき、透過率は、

Ｔ＝Ta*Tb*exp(-α*L)/{1-Rb*Sa*exp(-2*α*L)}
となります。
Ta : a層の透過率（空気→薄膜）
Tb : b層の透過率（基板→空気）
Sa :基板から見たａ層の反射率（基板→薄膜）
α : 基板の吸収係数（エネルギー）で α = 2κ(消衰係数）
L　：基板の厚み
上記は基板の裏面（境界ｂ）の反射が境界ａに行き、また戻ってくる分を見込んでいます。
~ の記号はc.c.(complex conjugate)を表します
垂直入射なので、
η0 = N0*Y ( N0:空気の複素屈折率 )
η1 = N1*Y ( N1:薄膜の複素屈折率 )
η2 = N2*Y ( N2:基板の複素屈折率 )
ここで、Y = sqrt(ε0/μ0) = 2.6544 x 10^(-3)(真空の誘電率ε0と透磁率μ0です)
という値を定義すると、
Tb = 4*Re[η2]Re[η0]/{(η2-η0)*(η2-η0)~}
Rb = {(η2-η0)/(η2+η0)}*{(η2-η0)/(η2+η0)}~
と、基板－空気間の透過率反射率が求まります。(Re[x]はreal partをとるという意味)

さて、問題のTa,Saですが、層状の誘電体の問題を解くのに良い方法があり、特性行列という名前で呼ばれている方法があります。
この方法だと何層あっても一つの境界の問題に帰着させることが出来る便利な方法です。詳しくは、「光学の原理Ｉ」（Ｍ・ボルン）など専門書を参照して下さい。
今回は薄膜は一層なので、
δ＝４π*Ｎ1*d/λ
とおくと、特性行列式を展開して、
B = cosδ+(i*sinδ)*η2/η1
C = i*η1*sinδ + η2*cosδ
（空気から境界層ａ）
B' = cosδ+(i*sinδ)*η0/η1
C' = i*η1*sinδ + η0*cosδ
（基板から境界層ａ）
として、(iは素数です)

Ta = 4*η0*Re[η2]/{(η0*B+C)*(η0*B+C)~}
Sa = {(η2*B'-C')/(η2*B'+C')}*{(η2*B'-C')/(η2*B'+C')}~

となります。

多分計算間違えはないと思いますが、、、、御自身でも試みて下さい。
（光学の原理は入門向けの本ではありませんが、、、）

お礼

非常に丁寧なご回答，大変感謝いたします。
お礼が遅くなり，大変申し訳ございませんでした。

実際に計算を進めました。その上で新たに疑問点があるのですが，
（１）Ｙはすべて通分されてなくなってしまうと思うのですが，それで宜しいのでしょうか？
（２）δの中身の虚部は，最終的にはどう処理すればよいのでしょうか？
（３）α = 2κ = 2*Im[N1]，すなわち薄膜部分の虚部の２倍で良いのでしょうか？
　　　それとも，α = 2*Im[N1+N2]，すなわち薄膜および基板の虚部の合計値でしょうか？
（４）ｄは薄膜部分のみの厚みで良いかと思いますが，Ｌは基板のみ厚みでしょうか？
　　　それとも薄膜部分も含んだ厚さなのでしょうか？

本当に分からないことだらけで申し訳ございません。どうか補足ください。よろしくお願いいたします。

補足

MAPLE V で計算させてみましたところ，
　cos(a + ib) * cos(a - ib) = cos(a^2) + cosh(b^2) - 1
という関係式が出，一応私の（２）の質問については納得しました。

MAPLE V を使い，ざっと計算させてみましたが，最終的な式は非常に複雑になるんですね。本当にあっているのか，少々不安になってしまうほどです…。

回答No.4

noname#11476

通常のUV-Vis分光器だと、波長範囲はせいぜい300nm～900nm程度ですから数十ｎｍしかない膜厚は測定するのは困難ではないでしょうか。
つまり、先ほど私が示した式を変形すると、膜厚dは、

d = m/(2n) / (1/λ1 - 1/λ2)

ここで、mはλ1からλ2までにある干渉縞の数です。(たとえば、λ1で一つピークがありλ２でまたピークがあり、その間にはピークがない場合はｍ＝１、間に山が１つあればｍ＝２となります）

いま、波長範囲を250nm～1000nmまで可変してようやく一周期の山が見える、つまりm=1を考えると、
d = 333/(2n)
です。n = 1.5 の物質だと d = 111 nmですから、これ以上の厚みがないと一周期分の山が見えません。
通常はmを複数にして測定しますので厳しいですね。

ところで、エリプソメータでn,kを求めたとありますが分光エリプソメータですか？
つまり波長毎の、n(λ), k（λ）がわかっていると言うことでしょうか？

確かに、n(λ),k(λ)がわかっている場合だと膜厚dを関数にしてカーブフィットさせると、うまく干渉の項が現れてくれれば、測れるような気もしますが、ちょっと特殊ですね。
どこまで正確に測れるのかは私にもよくわかりません。この場合透過率の絶対値の誤差が、膜厚の推定誤差に影響しますので。
（もちろんUV-Visの測定波長範囲でのn(λ),k(λ)がわからないと測定は不可能です）
普通はこの位の厚みになるとエリプソメータで膜厚を測定することが一般的だと思いますよ。

とりあえず、気が付いた点まで。
（計算の方はもう少し待って欲しいです、、、）

補足

ご回答，ありがとうございます。

膜厚測定について，元々吸収の大きな物質を取り扱っておりますので，大雑把なら吸収だけもで膜厚が推定できるのです。しかし当然ながら，吸光度は膜厚に対して完全には比例しませんので，それをちゃんと補正して，より正確な膜厚を求めたいと考えたわけです。

今私が取り扱っている物質の屈折率は 2 以上でして，この場合，膜厚 100 nm 程度でも干渉による“大きな谷”が出現しました。これは実際に UV-Vis で測定した通りです。ただし複数の干渉縞として見えているわけではないため，縞だけによる膜厚の判定はちょっと厳しいと思います。

> ところで、エリプソメータでn,kを求めたとありますが分光エリプソメータですか？

その通りです。n (λ)と k（λ）を，波長 200 nm ～ 1700 nm の範囲で測定いたしました。n(λ), k（λ）は薄膜部分だけでなく，基板の部分についても測定済みです。ちなみに，UV-Vis 吸収スペクトルを測定する範囲は，300 nm ～ 700 nm 程度です。この材料の吸収端は 600 nm 付近ですので，非常に吸収の大きいところを測定していることになります（とは言いましても，吸光度は最大で 1.5 程度）。

> 膜厚dを関数にしてカーブフィットさせると、うまく干渉の項が現れてくれれば、

ランベルトベール　＋　干渉縞　という二段階で（？）カーブフィットができれば，前者が祖調整，後者が微調整のような役割を果たすのではないかと，いや果たして欲しいと願っています。

> 普通はこの位の厚みになるとエリプソメータで膜厚を測定することが一般的だと思いますよ。

これは，本当におっしゃる通りだと思います。しかし，現在私の研究室ではエリプソを購入できる予算がなく，しかも買ったところで，ちゃんとした解析をできる人間がいませんので，しばらくはエリプソの測定・解析は外注にし，膜厚測定は UV-Vis 吸収スペクトルで代用するしかない状況なのです。

> （計算の方はもう少し待って欲しいです、、、）

本当にありがとうございます。くれぐれも，本業に差し支えない程度でお願いします。

回答No.3

noname#11476

1.に対するお答えとしては、２でご指摘されているように100nmの膜に対する多重干渉効果を考えないといけないのでそのように簡単ではありません。
（振幅反射率、透過率で計算していきます）
2．T2 = という形では表せません。境界１，２を含む総合的な透過率係数という形でしか求まりません。

やりたいことが膜厚を求めたいだけであるならば、得られたスペクトルの周期振動の周期から膜厚は求められます。
膜の厚みをdとして、屈折率（実部）をnとすると、透過光強度Iは、

I = a /{ b + c*cos(δ) }
δ = 4πnd/λ

と表されます。(a,b,cは定数)
つまり、観測周期を求めれば、cos(δ)のδだけ考えればよいので、δの式を使うだけで解けますので簡単です。
ここで、基板の裏面からの干渉は考えていません。なぜならば1mmと厚く、UV-Visとのことで波長は１μｍ以下でしょうから、ほとんど干渉効果は観測できないからです。
なお、吸収が強いと周期振動は弱くなっていきますので注意して下さい。

今手元に資料がなくて、自力で計算する時間もないので、とりあえずの解答とします。
どうしてもまともに解いた式が必要でしたら補足下さい。

補足

ご回答ありがとうございます。色々と勉強になり，大変感謝しております。

> I = a /{ b + c*cos(δ) }
> δ = 4πnd/λ

早速，この式に実測の n を代入し試してみました。この方法で，100 nm以上の薄膜については膜厚が測定できそうな感じが致します。しかし，膜厚が数10 nm程度の薄膜では，干渉縞が吸収のある領域に入ってしまい，膜厚は特定できませんでした。

先日，業者にエリプソの測定をしてもらい，n と k が正確に求まっておりますので，できればちゃんとした計算値も得たいと思っております。勝手なお願いで大変恐縮ですが，お時間のあるときに補足していただけませんでしょうか？　どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

motsuan

guiterさんと同じです。

無限和を取る方法でも１次元なので、比較的容易にできますが
普通は転送行列で考える場合が多いのではないでしょうか。
（領域ごとに分けてやれば同じパターンの繰り返しなので
　手間としてはそれほど変わらないのかもしれません。）

通常の誘電体薄膜の教科書に載っていると思いますが、
反射係数と透過係数を成分に持つベクトルに対して電場の和が
各界面ごとに連続と１階微分が連続という条件を行列で表すことができます。
各界面ごとにその条件を満たす必要があるので、各層ごとの厚みに対応した位相（向きに合わせて位相が常に一定方向に進む必要があります。とくにこの場合は吸収があるので方向を間違うと増幅されてしまうという事態になるので要注意でしょう）と合わせて、その行列を掛け合わせれば、全体の反射係数と透過係数についての行列が得られます。
これから、透過係数を求め透過率を求めればよいのではないでしょうか？
１．に対するアドバイスです。

補足

ご回答ありがとうございます。

> 通常の誘電体薄膜の教科書に載っていると思いますが、

当方，サイエンス社の「光学」という本を買い独学しておりますが，膜内多重干渉については透明体の場合のみしか記述がなく，吸収の取り扱いがよく分かりません。もし，もっと適したお勧めの本などがあれば，是非，教えていただきたいと存じます。どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

guiter

＞膜内多重干渉の取り扱い方が分かりません。
今のように２層以上の物質がある場合、
各界面での反射、透過のあらゆるパターンを考えて無限和を取る方法は
少し計算がしんどいように思います。

今は、最終的に定常状態であるとして境界条件を考えると良いように思います。
1. → 4.（入射方向）の向きに進む電場を添え字＋で、
その反対方向の向きに進む電場を添え字－で表すとします。
　E1+(x,t) = (E1+)*exp(ikx-iωt)
　E1-(x,t) = (E1-)*exp(ikx+iωt)
などといった具合です。
領域２のように減衰する場合は
　E2+(x,t) = (E2+)*exp(-αx)*exp(ikx-iωt)
　E2-(x,t) = (E2-)*exp(-α(d-x))*exp(ikx+iωt)
のように減衰項をかけておきます。
式が見にくくなるので全て exp(ikx-iωt) と書きましたが、
もちろん領域によって波数 k は異なります。
また、今の場合１から４への入射ですから、E4- = 0 ですね。

このように、各領域での電場を考え境界条件を解くことで
　T_total = |E4+/E1+|^2
のように求まります。
同様に反射率は
　R = |E1-/E1+|^2
です。

38endoh さんの定義した文字と異なる文字表記になっていますので、
そのあたりは適当に修正してください。
私も専門ではなく、今手元に資料もないのでとりあえずのアドバイスです。

補足

ご回答ありがとうございます。しかし，私は物理自体が非専門の上，数学が苦手ときているので，大変申し訳ございませんが，もう少し補足していただけると大変助かります。

> 今は、最終的に定常状態であるとして境界条件を考えると良いように思います。
> 1. → 4.（入射方向）の向きに進む電場を添え字＋で、
> その反対方向の向きに進む電場を添え字－で表すとします。

考え方がなんとなく理解できる程度で，式は全く導出できません。申し訳ございません。x や t の関数でない E1+ などは，界面における強度なのでしょうか？　具体的には，これらの式をどう繋げばよいのでしょうか？　分からないことだらけで，申し訳ございません。

図を下記のように訂正致しますので，済みませんがもうすこし基礎的な部分から教えてください。どうかお願いいたします。

領域1（空気 n0 = 1.0） … E1+，E1-
界面1（r1, t1）x = 0
領域2（吸収のある薄膜 n1 - i k1, 厚さ d1） … E2+，E2-
界面2（r2, t2）x = d1
領域3（吸収のある基板 n2 - i k2, 厚さ d2） … E3+，E3-
界面3（r3, t3）x = d1 + d2
領域4（空気 n3 = 1.0） … E4+，E4-