集合と論理

質問

A,B⊆R　において　次の命題を論理記号を用いてあらわせ、という問題です

Aには,任意の実数に対してそれより大きな要素があり、Bには任意の実数に対してそれより小さな要素がある。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

単純明快なご質問に、幾つも回答が付くとは予想できませんでしたね～

蛇足です。
●A,B,R,＞という四つの集合の取り扱いについて、少し補足しておくのが良さそうです。
　これらはご質問の
「Aには,任意の実数に対してそれより大きな要素があり、Bには任意の実数に対してそれより小さな要素がある。」
という文には書いてない、文脈に当たるところで定義されている対象であって、従って論理式
∀x(x∈R→∃y(y∈A∧y＞x)) ∧∀x(x∈R→∃y(y∈B∧x＞y))
に於いては、限量子(∃,∀)によって束縛されていない自由変数になっています。つまりこの論理式は閉じていません。
　（"＞"が集合だと言われるとびっくりしちゃう方もいらっしゃるかも知れませんね。"＞"は「二項関係」です。二項関係ってのは、集合＞⊆{<x,y>|x∈R∧y∈R}であって、<x,y>∈＞という命題をx＞yと略記する。）
　では閉じたらどうなるのか、と言われますと、文章の方にも論理式の方にも、A,BおよびRの定義を含めておかなくてはならない。その際にA,B,Rのそれぞれに限量子をつけることになる。∃を付けるか∀を付けるか、またそれらをどう並べるかで論理式全体の意味は全く違ってきます。

●これは数学の話ですが、Rを実数全体の集合とし、＞を実数の大小関係とするとき
∃A∃B(A⊆R∧B⊆R→∀x(x∈R→∃y(y∈A∧y＞x)) ∧∀x(x∈R→∃y(y∈B∧x＞y))
は真です。
例えばA,BをA=R, B=Rとすれば良い。A⊆R∧B⊆Rは自明です。こういう文脈に於いて
∀x(x∈R→∃y(y∈A∧y＞x)) ∧∀x(x∈R→∃y(y∈B∧x＞y)
は真である。なぜなら、任意のx∈Rに対してy=x+1とすれば(y∈A∧y＞x)であり、任意のx∈Rに対してy=x-1とすれば(y∈B∧x＞y)である。
　しかし勿論、Rを実数全体の集合とし、＞を実数の大小関係とするとき
∀A∀B(A⊆R∧B⊆R→∀x(x∈R→∃y(y∈A∧y＞x)) ∧∀x(x∈R→∃y(y∈B∧x＞y))
は偽です。A={0}, B={0}という反例がありますからね。

●rachelさんはお分かりだろうけれど、命題「Aには,任意の実数に対してそれより大きな要素があり、Bには任意の実数に対してそれより小さな要素がある。」が真か偽か、ということは、本質問とは何の関係もない。もちろん、（この命題=論理式は閉じていないから）A,B,Rが何であるかによって真にもなれば偽にもなる、ということもある。それでも、A,B,Rを何か決めたときに、この命題が真なら、それを翻訳した論理式も真であり、偽ならそれを翻訳した論理式も偽である。
例えば、回答No.3にある、
> ∀x∈R,(∃y∈A, y > x)
> ∃y∈A,(∀x∈R, y > x)
はどっちも立派な論理式です。
　Rを実数全体の集合とし、A⊆Rとし、＞を実数の大小関係とするとき、最初のものはAの選び方によっては真になる。∀x∈R,(∃y∈A, y > x) が真になるようにAを選ぶこともできる(例えばA={x|x∈R∧x＞0}）し、偽になるようにAを選ぶこともできます（例えばA={x|∧1＞x∧x＞0}）。二つ目の論理式はAをどう選んでも偽になる論理式です。もしそのようなAが存在して、(∀x∈R, y > x) となるy∈Aが存在するのなら、A⊆Rよりy∈R、従って、x=yとするとy＞yとなりますからね。
　では∃y∈A,(∀x∈R, y > x) と書くのはおかしいのか。そんなことはありません。ここがポイントです。
　なにか、偽の命題を排斥しようというような心理的バイアスが生じがちですけれど、真の命題（論理式）と同様、偽の命題（論理式）は書けますし、書いて良いし、書けなくちゃ論理式を書く意味がありません。

いや、rachelさんはそんなこと訊いてないですけどね。

お礼

こんにちは。このたびは,どうもありがとうございました。

回答No.5

zabuzaburo

asterさんのおっしゃるとおりです。
きちんと数学的な内容まで吟味すれば、
「∀x∃y」ではなく「∃y∀x」と読解すべき文脈でした。

そもそも「stomachmanさんもおっしゃっていますが」
なんて書いてしまいましたが、stomachmanさんは
「文章を素直に論理式にすればこうなるが、
もし『……(省略)……』という表現なら紛らわしい」
と書かれていたのでした。

失礼しました。

回答No.4

aster

どうもよく分からないのですが。
なるほど、束縛変数は、全称記号か存在記号が前になければならないというのは、その通りです。

（論理記号を使わなくなって久しいので、おかしいことを記したようです。ただ、仮言Ａ→Ｂの構造はどうなるのでしょうか。そのことを述べたかったのですが）。

しかし、日常言語で書かれている文章について、その解釈が曖昧だというのは、日常言語の読解の問題になるのではないでしょうか。

A,B⊆R　という前提は、Ａは、Ｒの真部分集合か、またはＲと同じ集合という意味です。

＞Aには,任意の実数に対してそれより大きな要素があり

これを、「Ａには或る要素があり」と読むことは、日本語で、そう読めるでしょう。しかし、ＡはＲと同じ集合でもあるという前提からすれば、「Ａの或る要素」というのは、或る実数に他ならないでしょう。

すると、こう読むと、「或る実数があり、それは任意の（すべての）実数より大きい」となりますが、そんな実数は存在しないはずです。

これは、任意の実数（あらゆる実数）を考えると、常に、それより大きい実数が存在するという意味で、実数集合が、無限集合であるということを言っているのではないでしょうか。

＞A,B⊆R　

という前提において、或るＡの要素があり、それは、任意の実数より大きい、と読むことは、日常言語の読み方・解釈の問題になるのではないでしょうか。

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＞ご気分を害されましたら申し訳ありません。

これは関係がありません。

回答No.3

zabuzaburo

stomachmanさんもおっしゃっていますが、
「集合Aには、任意の実数に対してそれより大きな要素がある」
という文は曖昧さを含んでいます。

実数の大小関係を武道にたとえましょう。
もちろん、大きい方が勝ちです。
このとき、次の2つの状況が考えられます。

(1)いろいろな実数が「A道場」に「たのも～」と挑戦したときに、
そのたびにAの中から自分より強いヤツが都合よく選ばれて
「お前にはワシが相手じゃ」
ということになって、どうしてもA道場には勝てない。

(2)A道場にはメチャクチャ強いヤツがいて、
挑戦を申し込むといつもそいつが出てきて撃沈される。

略式に記号化すると

(1)は　∀x∈R,(∃y∈A, y > x)
(2)は　∃y∈A,(∀x∈R, y > x)

となって、記号の上では
「∀」と「∃」の順番が互いに逆となるような関係にあります。

>asterさん
ご自身が「間違っているかも知れない」とおっしゃっているので
ちょっと申し上げにくいのですが……。

∀x(y∈A → ∃y(x∈R ＆ y＞x)) ＆ ∀x(y∈B → ∃y(x∈R ＆ x＞y))

ですと、束縛変数であるはずのyにかかるもの(∀や∃)がありませんので、
このままだとyが宙に浮いています。また、

∀x(x∈R ＆ ∃y(y∈A ＆ y＞x)) ＆ ∀x(x∈R ＆ ∃y(y∈B ＆ x＞y))

ですと、「この世の全てのものは実数であり、しかも……」
という意味になってしまいます。

ご気分を害されましたら申し訳ありません。

回答No.2

aster

＞A,B⊆R　において

これは、（A⊆R ＆ B⊆R）→

となるはずで、次に、

＞Aには,任意の実数に対してそれより大きな要素があり、Bには任意の実数に対してそれより小さな要素がある。

これは、間違っているかも知れませんが：

∀x(y∈A → ∃y(x∈R ＆ y＞x)) ＆ ∀x(y∈B → ∃y(x∈R ＆ x＞y))

であるか、または：

∀x(x∈R ＆ ∃y(y∈A ＆ y＞x)) ＆ ∀x(x∈R ＆ ∃y(y∈B ＆ x＞y))

ではないかと思います。

仮言の　Ａ→Ｂ

というのは、真偽式からすると、Ａが偽の時は、Ｂの真偽に関係なく、全体は真となるはずだったように思います。（「＆」は、論理関手として、「∧」と同じものです）。

回答No.1

stomachman

文章を素直に論理式にすれば、
∀x(x∈R→∃y(y∈A∧y＞x)) ∧∀x(x∈R→∃y(y∈B∧x＞y))
あるいは連言をまとめて、「任意の実数に対して、Aにはそれより大きな要素があり、Bにはそれより小さな要素がある」と読み替えれば、
∀x(x∈R→∃y(y∈A∧y＞x) ∧∃z(z∈B∧x＞z))

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
なお、
「任意の実数に対してそれより大きな要素がAにあり、任意の実数に対してそれより小さな要素がBにある。」
などと言われると紛らわしい。
∀x(x∈R→∃y(y∈A∧y＞x)) ∧∀x(x∈R→∃y(y∈B∧x＞y))
という解釈の他に、
∃y(y∈A∧∀x(x∈R→y＞x)) ∧∃z(z∈B∧∀x(x∈R→x＞z))
という解釈も可能になってしまうからです。もし後者を言葉にするなら、
「Aの或る要素は任意の実数より大きく、Bの或る要素は任意の実数より小さい」
あるいは
「任意の実数より大きいようなAの要素が存在し、任意の実数より小さいようなBの要素が存在する」
と表現した方が良い。

また、∀x(x∈S→P)の略記法として
∀x∈S, P
また、∃x(x∈S∧P)の略記法として
∃x∈S, P
が使われることがあります。なぜこんな略記が便利か。
　￢(∀x(x∈S→P))は∃x(x∈S∧￢P)と等価であり、
　￢(∃x(x∈S∧P))は∀x(x∈S→￢P)と等価。
つまり、∀x(x∈S→P)および∃x(x∈S∧P)というパターンは否定(￢)しても崩れない。そんな訳で、この二つのパターンは至る所に出て来ます。