６０度の条件をを式に伝えるには

質問

(問）放物線y=x^2の上に異なる３点A,B,Cを次のようにとる。
A(p , p^2), B((1-p , (1-p)^2), C(q , q^2)
三角形ABCが正三角形になるとき、p,qの値を求めよ。

６０度を翻訳するのには複素数平面での回転が一般的だと思うのですが、この問題では三角関数のtanでとかれていましった。ということは、６０度をなどの角度を翻訳するときには、回転だけでなくtanも大きな道具の一つなのですか？そうすると、、角度を翻訳するときに、回転かtanのどちらを使うのか、迷ってしまうのですがどこで判断すればよいのでしょうか？
ちなみにこの問題を回転で解こうと思ったら、文字で汚くなって解けなくなりました。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

No.2では結果のみ報告しましたが，計算の方針を再検討してみて, 一応納得できる結果になったので，略解を報告します．

A(p , p^2), B((1-p , (1-p)^2), C(q , q^2) より
ベクトルA->Bを点Aを中心に±60度回転したものがベクトルA->C なので，複素数で表現すると [式中の -+ は複号マイナスプラス]
(q-p)+(q^2-p^2)*i = [(1-p)-p +{(1-p)^2-p^2}*i]*{cos(±60)+i*sin(±60)}
<==> (q-p){1+(q+p)*i}=(1-2p)(1+i)*(1±√3*i)/2
<==> (q-p){1+(q+p)*i}=(1/2 -p){(1-+√3)+(1±√3)*i}
すると，ここで両辺の(虚部)／(実部)の比の値についての等式を有理化して整理(結局これはtanと同じ！)して
q+p=-(2±√3)・・・(1)
また，両辺の実部を比較して
q-p=(1/2 -p)(1-+√3) ・・・(2)
(1)-(2)を解いて p=(1-+2√3)/2, このときどちらでも q=-5/2

さて，No.2では最初に距離でやろうとしたように書きましたが， 正三角形なので，角を使って上のようにやった方がむしろ有利に思います．辺が等しい条件も表せるので．この点は他の人の見解も聞いてみたほうがいいかも知れません．
また，1回目は「ベクトルA->Cを点Aを中心に±60度回転したものがベクトルA->B」という方針でやったのですが，(1)は同じ式が得られます.でも(2)で(q-p)に無理係数がついて，面倒に思えたのですが，改めて見てみると，それほどは差がないようです．
なお，tan や上のように(虚部)／(実部)の比の値をみるのは，そのままだと文字の積がはいっていて面倒だからでしょう．これは実際の式を見て解法を判断するしかないのではないかと思います．

また, 回転については複素数(特に長さも絡むと)が有利とは思いますが，直線のなす角の捉え方は, 大数の新数学演習 7.10(東大82年)参照や, よく問題集に載っている一橋大の問題（放物線y=x^2上の２定点A(x=-1/2?)，B(x=1?)に対し，放物線上のAB間に動点Pをとり角APBを最大にする問題）などを研究すると良いかも．

お礼

oshiete_gooさん再びどうもありがとうございます！

＞No.2では最初に距離でやろうとしたように書きましたが， 正三角形なので，角を使って上のようにやった方がむしろ有利に思います．

なるほど、それは納得です。

＞直線のなす角の捉え方は, 大数の新数学演習 7.10(東大82年)参照や, よく問題集に載っている一橋大の問題（放物線y=x^2上の２定点A(x=-1/2?)，B(x=1?)に対し，放物線上のAB間に動点Pをとり角APBを最大にする問題）などを研究すると良いかも．

同じ問題をtanで解いた記憶があります。角度の最大最小は三角関数が有効みたいですね。

回答No.7

stomachman

「正三角形は三辺の長さが同じ」ということを素直に使って、二次方程式と簡単な因数分解の知識だけでこつこつ解くとこんな感じでしょうか。

p+r=1　…(1)
とrを定義する。するとB点の座標は(r,r^2)である。(1)より以下の「公式」が得られる。
(p-r)^2=1-4pr　…(2)
p^2-r^2=p-r 　…(3)
p^4-r^4=(p-r)(1-2pr) 　…(4)。
　さて、辺の長さの二乗をcとする。辺ABの長さの二乗は
c=(p-r)^2+(p^2-r^2)^2
である。これに(2)(3)を用いて
pr=(2-c)/8　…(5)
を得る。(1)(5)から、２次方程式(x-p)(x-r)=0は
x^2-x+((2-c)/8)=0
と展開されることが分かる。これを解いて、（p≧rとして）
p=1/2+√(c/8)　…(6)
r=1/2-√(c/8)　…(7)。
一方、辺BCの長さの二乗は
c=(r-q)^2+(r^2-q^2)^2 　…(8)
であり、これは辺CAの長さの二乗と等しいから、
(q-p)^2+(q^2-p^2)^2 = (r-q)^2+(r^2-q^2)^2
である。両辺を展開して整理すると
(p^2-r^2)+(p^4-r^4)-2(p-r)q-2(p^2-r^2)(q^2)=0
となる。これに(3)(4)(5)を用いると、
(p-r)((3/2+c/4)-2q-2(q^2))=0
である。p≠rに注意してこれを解くと
q=-(1/2±√(1+c/8))　…(9)
を得る。複号±のどちらかが本物の解である。(7)(9)を(8)に代入すると
c=c/2+4±√(2c+16)
これを解いて、
　複号±が - のときc=0、+ のときc=24
を得る。無論c≠0だからc=24であり、複号は+と決まった。
かくて(6)(9)にc=24を代入して、p=1/2+√3, q=-5/2、辺の長さは√c = √24。

　こう愚直にやりますと、No.1 nubouさんのようなキレがありませんけど、式を立て間違えることもなさそう。三角関数がキライな人向きかもね。

お礼

こんにちは。続けてありがとうございました。お返事が送れて申し訳ありません。いろんな解法を教えていただいたので、視野が広がり、余裕も生まれてきたように感じます。今度同じような問題が出てきたら是非使ってみたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.6

stomachman

試験対策ならコメントはありません。

　広く使えるという意味では、一般化したらどうなるか、が問題ですね。
A=(p , p^2), B=(r , r^2), C=(q , q^2)
とおき、r=1-pという条件を外して考える。或いは（r=1-pを外すのと等価ですが）放物線にスケールの自由度を入れてy=a(x^2)とするのが一番簡単な一般化でしょう。
　さらに一般化して捉えたとき、決まった形の三角形を通る曲線を求める、と考えるか、決まった曲線上の３点がなす三角形がある条件を満たすようにする、と考えるかでアプローチは違ってくるでしょうね。

　決まった形の三角形を通る曲線を求める、すなわち「三角形の座標を固定して、その頂点を通る曲線を求める」というアプローチはイメージが捉えやすい気がします。例えば曲線のパラメータ表示
x(t)=t
y(t)=t^2
において、
X(t)=sx(t)cosθ-sy(t)sinθ+u
Y(t)=sx(t)sinθ+sy(t)cosθ+v
（s＞0、sはスケールを表す）
という座標変換をした曲線を考え、これが固定された正三角形の頂点
(X(p),Y(p))=(0,0)、(X(q),Y(q))=(1,√3)、(X(r),Y(r))=(-1,√3)
を通り、しかもr=1-pを満たすようにp,q,r,u,v,θ,s＞0を決めます。上記の座標変換は
x(t)=((X(t)-u)cosθ+(Y(t)-v)sinθ)/s
y(t)=(-(X(t)-u)sinθ+(Y(t)-v)cosθ)/s
と書いても全く同じですし、従って、
x(t)=SX(t)cosφ-SY(t)sinφ+U
y(t)=SX(t)sinφ+SY(t)cosφ+V
とおき、p,q,r,U,V,φ,S＞0を決めるのでも同じです。
　多様なバリエーションがこのアプローチで扱えます。色んな曲線が考えられ、曲線自身も自由度を持つことができ、また三角形の形が正三角形でない場合もあるでしょうし、多角形の場合も考えられます。r=1-pの代わりに辺の長さが与えられていたり、あるいは回転角θが与えられていたり、など。
　機械的な連立方程式の処理だから、ゴリゴリ頑張るなり、数式処理ソフトを利用すればなんとかなりそうです。
　また、この座標変換を行列で表示すれば、直ちにベクトルや複素数としても扱えます。ですから、とりあえず式を書き下してみるにあたって、このアプローチは見通しが良く、使いやすいと思いますよ。

　なお、stomachmanが前の回答で角度より辺の長さに注目したのは、ご質問が「角度をどう扱う？」と、アプローチを決めつけちゃっているかのような印象を受けたからに過ぎません。この問題に限れば、stomachmanに最初に浮かんだアプローチは以下のようなもの：
「XY平面上で、一辺１の正三角形をθだけ回す。その３つの頂点を通る放物線Y=a(X^2)+bX+cはラグランジュ補間で一意的に決まる。y=sY, x=sXと変換すると
y=x^2+bx+sc
だから、これで正三角形一辺の長さのxy座標系における値sが（θの関数として）決まる。さらに三角形をx軸方向に(-b/2)だけ平行移動してやれば、二つの頂点A,Bのx軸成分の和が1になる(p+r=1)ための条件式が得られ、これを解いてθが決まる。」

お礼

どうもお返事ありがとうございます。少し高いレベルのお話でしたが、興味深く読ませていただきました。まねできるようになりマイです。どうもありがとうございました。

回答No.5

oshiete_goo

No.4の一部訂正
一橋の問題は，オリジナル数学演習Ｉ(2)ＡＢ（数研出版）１５０番などにありましたが，角ＡＰＢが「最小」のときを求めよ，でした．お詫びして訂正いたします．
お休みなさい．

回答No.3

stomachman

「正三角形は三辺の長さが同じ」ということだけを使って解いてみましたよ。結果はNo.1, No.2と一致しています。辺の長さは24です。

お礼

stomachmanさんどうもこんにちは。

ところで、回転やtanは使い勝手が悪いのですか？みなさん、辺の長さを使っておられますが・・。素早く簡単に解けて一般性のある解法を探しているのですが。

回答No.2

oshiete_goo

ためしに回転で計算してみて, No.1氏と全く同じ結果を得ました. でもなかなか面倒で, 実は筆者も第1手としてはNo.1氏の方針をまず考えました.
＞ｐ＝（１±√（１２））／２ (=1/2 ± √3 :筆者注)
＞ｑ＝－５／２
答はこの通りではないでしょうか. 但し，pの複号(±)は結局2点A,Bの入れ替えに対応していて，図形的には2つの場合は重なるようですね．

お礼

oshiete_gooさんどうもこんにちは。

回転でも答えは出せるんですね。ふぅー計算力が足りなかったのかな。
ところで、正三角形のこの手の問題にいろんな解法があると思うのですが、どういうときにそれらを使い分ければいいのですか？混乱しています。

回答No.1

nubou

（１）ｑ＾２＋ｑ＝ｐ＾２－ｐ＋１
（２）２・（１－２・ｐ）＾２＝（ｐ－ｑ）＾２＋（ｐ＾２－ｑ＾２）＾２
を解いて
ｐ＝（１±√（１２））／２
ｑ＝－５／２

（１）は（ｐ，ｐ＾２）と（１－ｐ，（１－ｐ）＾２）を結ぶ線分の垂直２等分線が（ｑ，ｑ＾２）を通るという条件
（２）は（ｐ，ｐ＾２）と（１－ｐ，（１－ｐ）＾２）を結ぶ線分の長さと（ｐ，ｐ＾２）と（ｑ，ｑ＾２）を結ぶ線分の長さが等しいという条件

計算違いがあるでしょうね

お礼

こんにちは。お返事いただけて幸いです。

そのような解法は初めて知りました。確かに正三角形の性質だとは思いますが。答えはバッチシ合ってます。その通りです。いろんな手があるんですね。