線形変換

質問

次の問題でどうしても答えにたどり着けません。どなたかご指南お願いします。

・Ｒ^3の線形変換fの標準基底{e1,e2,e3}に関する表現行列(３次正方行列)が[左上から(１１１)、真ん中の左から(１－１－１)、左下から(－２５４)であるとき、基底｛t(１１－１),t(１－１２),ｔ(１０１)｝に関するfの表現行列を求めよ。
ｔ：転置行列

表現行列の関係式を用いると９つの方程式を解かなくてはならず途方にくれています。何か違うアイデアは無いでしょうか。
問題文が分かりにくいですが宜しくお願いします。

回答No.1

pote03 · ベストアンサー

一応解いてみたので解答を載せます。

R^3の標準基底{e1,e2,e3}に関する行列表現A
　　( f(e1) , f(e2) , f(e3) ) = ( e1 , e2 , e3 )A
∴A =　[　1　1　1]
　　　　　[ 1 -1 -1]
　　　　　[ -2　5　4]

R^3の基底{ v1 , v2 , v3 }に関する行列表現B
　　( f(v1) , f(v2) , f(v3) ) = ( v1 , v2 , v3 )B

ここで、{ e1 , e2 , e3 }から{ v1 , v2 , v3 }への変換行列をPとすると、
　　( v1 , v2 , v3 ) = ( e1 , e2 , e3 )P
∴P =　[　1　1　1]
　　　　　[　1 -1　0]
　　　　　[-1　2　1]

B = P^-1APより
　　 B =　[　1　1 -1]　[　1　1　1]　[　1　1　1]
　　　　　 [　1 -2 -1]　[　1 -1 -1]　[　1 -1　0]
　　　　　 [-1　3　 2]　[ -2　5　4]　[ -1　2　1]

　　　= 　[1　1　0]
　　　　　[0　1　0]
　　　　　[0　0　2]

この解き方だとwidzwedonさんの解き方と変わらないかな？？
逆行列を求めるのが少し面倒なくらいで、後はそれほど難しくないように思います。
答えは合っているかどうか少し不安ですので、もう一度ご自分で確かめてみてください。

お礼

今週テストがあるのでとても助かりました。
ありがとうございましたm(_ _)m