運動エネルギー

質問

運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しいことをΣを使って証明できるのですが、2物体とか具体的に数字が出たら原理は、わかるのですが証明はいまいちわかりません。何方か教えてください。

回答No.3

ht1914 · ベストアンサー

＞二個の質点に対してK=KG＋K´を証明するときどうすればよいのですか?

ここでの式は次の内容を表しているのですね。文字で表すときは言葉の説明も添えてもらうと分かりやすいです。

＞運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しい

２物体の場合でいいのですか。

それぞれの式の表現はきちんと出来ていますか。それさえ出来ていれば単なる式の変形ですので難しくはありません。どこでどう引っかかってしまったのかが私にはよく分かりません。私は物体を１と２で区別しました。Σだけでは分かりません。まずここにハードルがあるのではないですか。自分で「ここが引っかかったところだ」と具体的に突き詰めることが出来たらたいていは全部自分で解決できる場合が多いです。ただ全体的に「分からない」と言っている間は「いつまでたっても分からないまま」なのです。

２物体の場合での方針を確認しておきますから文字の意味、式の表現等を改めて確かめてやり直してみて下さい。

（１）２つの物体を区別して表現する。（１，２とかＡ、Ｂとかで）
（２）質量、速度の文字を決める。
（３）重心の速度の表現を求める。（２つの物体の速度、質量で表す。）
（４）重心に対する相対速度の表現を求める。
（５）はじめの速度で表した運動エネルギーの和（Ｋ）、重心に対する相対速度で表した運動エネルギーの和（Ｋ’）の表現を求める。
（６）重心の運動エネルギー（ＫＧ）の表現を求める。
　　　この時の速度は重心の速度、質量は２つの質量の和です。
（７）Ｋ＝ＫＧ＋Ｋ’を変形で導く。
　　　右辺から左辺に持っていく方が分かりやすいでしょう。

（７）の質量で間違っていませんか。
＃２に重心の速度、重心に対する相対速度の表現は書いてあります。

回答No.2

ht1914

＞１/２×Σｍ(dr´/dt)二乗　　が1/2u（ｄｒ/dt）二乗を証明する方法がわかりません。　

ｒとｒ’は何ですか。文字の意味で混乱しているのではないでしょうか。ｒ’は重心に対する相対的な位置ですね。だからｄｒ’／ｄｔは重心に対する相対的な速度になります。
このエネルギーの和を換算質量で書き直した場合のｒは何でしょう。
換算質量はいつも２物体の相対速度とセットで出てきます。重心に対するものではありません。

（１／２）ｍ１Ｖ１’＾２＋（１／２）ｍ２Ｖ２’＾２
＝（１／２）（ｍ１ｍ２／（ｍ１＋ｍ２））（Ｖ１－Ｖ２）＾２

を導いて下さい。式の変形だけです。

Ｖ１’＝Ｖ１－ＶＧ
Ｖ２’＝Ｖ２－ＶＧ
ＶＧ＝（ｍ１Ｖ１＋ｍ１Ｖ２）／（ｍ１＋ｍ２）

＞運動エネルギーの和は、重心の運動エネルギーと重心に相対的な運動エネルギーの和に等しい

は２物体でも３物体でも書くことが出来ますが換算質量と相対速度による表現は３物体の場合簡単にはなりません。

２物体の場合、換算質量と相対速度による表現にすると２体問題が１体問題になりますので数学的には扱いやすくなります。水素原子でもこの表現を利用します。太陽の周りの地球の運動を考えときに太陽を止めて考えてよいという裏付けにもなります。

補足

すいません。私の書き方がだめでした。二個の質点に対してK=KG＋K´を証明するときどうすればよいのですか?

回答No.1

ht1914

２物体の場合だとそのまま式を変形して等しいということを示せばいいのではないですか。

出発の式は　（１／２）ｍ１Ｖ１＾２＋（１／２）ｍ２Ｖ２＾２
ですね。
どの部分が分からないのでしょうか。

重心の表現？
重心を使ったエネルギーの表現？
それともそれをさらに変形した相対速度と換算質量の式？

「一般の場合が分かっていて２物体の場合が分からない」というのが分からないのですが。

補足

１/２×Σｍ(dr´/dt)二乗　　が1/2u（ｄｒ/dt）二乗を証明する方法がわかりません。　　（uは、換算質量）