大学の数学の問題

質問

かなり難しく困っております。ぜひよろしくお願いします。

1: dimＲ＾ｎ＝ｎ
2: dimＣ＾ｎ＝ｎ
3: Show that Ψ・φ：Ｕ→Ｗ is a linear map if φ：Ｕ→Ｖ and Ψ：Ｖ→Ｗ are linear maps.
4: Let a map φ：Ｕ→Ｖ be an isomorpism, and let a set(e1,...,ek),eiＥＵ be linearly independent. Then show that a set (e"1,...,e"k),e"i=φ(ei)ＥＶ is linearly independent.

回答No.1

zzzzzz · ベストアンサー

[１および２]
各々R上、C上の次元と解釈します。
どちらも標準基底
e_1=(1,0,...,0), e_2=(0,1,0,...,0), ... , e_n=(0,...,0,1)
がとれるので次元はnです。
（1と2で同じe_iという記号を使用するのは望ましくないですが）
もう少し詳しく書くなら、{e_i}が確かに基底になっていることを書けばよく、
・R^nまたはC^nの全ての元は、RまたはC上、{e_i}たちで張られる
・RまたはC上、{e_i}たちは１次独立である
ことを証明すればＯＫです。
どちらも定義から簡単に示せますので、必要ならやってみてください。

※係数体が明らかでない場合は、どの体の上で次元を考えるかを明示する必要があります。
例えば、CはRの拡大体ゆえ、C^nはR上のベクトル空間とも見なせるわけです。
このとき、dim_C C^n=nですが、dim_R C^n=2nとなります。

[３]
linearの定義を確かめればよく、
Ψ・φ(v+w) = Ψ(φ(v+w)) = Ψ(φ(v)+φ(w)) = Ψ(φ(v))+Ψ(φ(w)) = Ψ・φ(v)+Ψ・φ(w)
Ψ・φ(kv) = Ψ(φ(kv)) = Ψ(kφ(v)) = kΨ(φ(v)) = kΨ・φ(v)
から、Ψ・φのlinearityが分かります。

[４]
φがisomorphismゆえ、特に単射(injection)であることを利用します。
{e''_i}たちが１次従属であると仮定すると、
全て0ではないa_1, a_2, ..., a_kが存在して
(a_1)(e''_1) + (a_2)(e''_2) + ... + (a_k)(e''_k) = 0
と書くことができます。e''_iたちの定義から、これは
(a_1)(φ(e_1)) + (a_2)(φ(e_2)) + ... + (a_k)(φ(e_k)) = 0
と同値であり、さらにφのlinearityより
φ( (a_1)(e_1)+(a_2)(e_2)+...+(a_k)(e_k) ) = 0
が分かります。φは同型ゆえ、特に単射ですから、これより
(a_1)(e_1)+(a_2)(e_2)+...+(a_k)(e_k) = 0
となり、これは{e_i}が１次従属であることを意味しますが、これは仮定に反します。