かなり困っています。できればすぐにお答え下さい。

質問

かなり難しく困っております。ぜひよろしくお願いします。

1: dimＲ＾ｎ＝ｎ
2: dimＣ＾ｎ＝ｎ
3: Show that Ψ・φ：Ｕ→Ｗ is a linear map if φ：Ｕ→Ｖ and Ψ：Ｖ→Ｗ are linear maps.
4: Let a map φ：Ｕ→Ｖ be an isomorpism, and let a set(e1,...,ek),eiＥＵ be linearly independent. Then show that a set (e"1,...,e"k),e"i=φ(ei)ＥＶ is linearly independent.

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

線形代数の基礎のようです。

１．Rは実数の集合でしょう。R×R を直積集合{<x,y>|x∈R ∧ y∈R} とする。これをR^2と書く事にして、一般にR^n = {<x1,x2,.....,xn>| x1∈R ∧ ..... ∧ xn∈R} とするとき、R^nの次元(dim)がnである事を証明しろ、って問題のように思われます。
２．Cは複素数の集合でしょう。C^nの次元がnである事を証明しろ、って問題のように思われます。
　普通、線形代数で言う次元ってのは、（この場合R^nやC^nの）基底(basis)が含むベクトルの個数のことです。
　Dim V = n　の必要十分条件は 「Vの中から互いに線形独立なベクトルをn個選ぶ、そのような選び方が少なくとも一つある。しかも、Vの中からn+1個のベクトルをどのように選んでも、それらは線形従属である」ということですから、<1,0,0,....,0>, <0,1,0,....,0>, ....,<0,0,0,....,1>が基底である事を示せば良い。条件の前半は、基底が線形独立であることから示せますし、後半は、どんなベクトルも基底の線形結合で表せることから示せます。なお、２．の場合にはスカラーが複素数である、ということに注意する必要があります。

３．φとΨが線形写像のとき、その合成Ψ・φもまた線形写像である事を示せ、という問題です。Ψ・φが線形写像の定義を満たすことを確認するだけです。

４．φを同形写像、e1,.....,ekを互いに線形独立なベクトルとするとき、φ(e1),....,φ(ek)もまた互いに線形独立であることを示せ、という問題のように思われます。（EU, EVってのが何だか知りませんが、"∈"を"E"と書いたんでしょうか？）
「φ(e1),....,φ(ek)が線形従属であればe1,.....,ekが線形従属になる」ということを示せば良い。φ(e1),....,φ(ek)が線形従属ということは、あるベクトルa = <a1,a2,....,ak>∈Vが存在してΣ(ai φ(ei)) = 0 となる。このときΣ(bi ei) = 0 となるベクトルb = <b1,b2,....,bk>∈Uが存在する事を示せばよい。同形写像なんですから、逆写像が存在して、それは全単射です(準同形homomorphismではこうは行きません）。bとして、aをφの逆写像で移したものを使えば良いことは言うまでもありません。
　同形写像の一般論だけから証明出来ますけれども、特に線形代数で言う同形写像φとは、φが線形写像であってしかも全単射（つまり１：１対応）であることを指します。