数と式

質問

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1を満たす１桁の正の整数a,b,cで100a+10b+cなる整数dを作ってその個数を求める問題で、

★(a,b,c)の組とdは1対１にどうして対応すると分かるのですか？
a≦b≦cと改定するとき
1=(1/a)+(1/b)+(1/c)≦(1/a)+(1/a)+(1/a)=(3/a)
a≦3になり
★a=2のとき
(1/a)+(1/b)+(1/c)=1から
(1/b)+(1/c)=(1/2)
b≦cより
b≦4になります

このとき
cの求めかたが分かりません。
どうしてb=3のときを考えるのでしょうか？
同じようり
a=3のとき
b≦3になります。
このときCの求めかたが分かりません。

回答No.1

rtz · ベストアンサー

★(a,b,c)の組とdは1対１にどうして対応すると分かるのですか？
解答には即さないけどa＝5、b＝7、c＝3になったらdは自動的に573だし、
dが419っていわれれば、a＝4、b＝1、c＝9になる。
しかも全ての場合でそれ以外ありえない。

つまり問題の方針としてはまずa≦b≦cとでもおいて、(a,b,c)の組み合わせを出す。
その上で1つ1つの組み合わせでa、b、cを入れ替えてもいいわけだから、それが何通りかを出す。
それを足し合わせる。

a≦3まで分かったら、aは自然数だからaは1か2か3。
でもa＝1だと(1/a)+(1/b)+(1/c)=1よりb、cが無いのでこれはパス。

次にa＝2だと、(1/b)+(1/c)=(1/2)
(1/2)＝(1/b)+(1/c)≦(1/b)+(1/b)よりb≦4
a≦b≦cとしたからa＝2≦b≦cで、上とあわせて2≦b≦4
b＝2とすると(1/a)+(1/b)+(1/c)=1よりcが無くなるのでパス。
b＝3とすると(1/a)+(1/b)+(1/c)=1よりc＝6
b＝4とすると(1/a)+(1/b)+(1/c)=1よりc＝4

最後にa＝3だと(1/b)+(1/c)=(2/3)
(2/3)＝(1/b)+(1/c)≦(1/b)+(1/b)＝(2/b)よりb≦3
a≦b≦cとしたからa＝3≦b≦cで、上とあわせてb＝3
このとき(1/a)+(1/b)+(1/c)=1よりc＝3

つまりa,b,cの組み合わせは2,3,6か2,4,4か3,3,3しかありえない。
2,3,6ならa,b,cはどれをとってもいいので3*2*1＝6通り
2,4,4ならa,b,cどれかを2にして残りを4にすればいいから3通り
3,3,3は1通り
計10通り。

こういう問題が解きにくいのであれば、一度総当りでやってみる。
a≦b≦cまでは仮定しておいてa=1、b=1、c=1から順番に考えてみる。
そのうちどういう理屈か見えてくるはず。
自然数であるという条件を踏まえて試行錯誤する。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
数学が分からない私でも理解できることができました。
今後も宜しくおねがいします。