期待値

質問

１の目がr回出るまでサイコロを投げ続けるとき、投げる回数の確率分布と、平均、分散を求めよ。という問題を考えているのですが、その時の確率分布は求めることができたのですが、平均分散の計算の仕方がわかりません。どうか教えてください。また平均の答えは６r
分散は30rです。

回答No.1

magmi-shi

確率分布はP(n)=[n-1]C[r-1](1/6)^r(5/6)^(n-r)ですよね。

期待値はE(n)=Σ[n=r～∞]nP(n)ですが，ここで
　n[n-1]C[r-1]=r[n]C[r]
を使って
　E(n)=r(1/6)^rΣ[n=r～∞][n]C[r](5/6)^(n-r)
となります。n-rをあらためてnとおくと
　E(n)=r(1/6)^rΣ[n=0～∞][n+r]C[r](5/6)^n
となり，[n+r]C[r]=(n+r)!/n!r!なので，1/r!を外に出して
　E(n)=r(1/6)^r/r!Σ[n=0～∞](n+r)!(5/6)^n/n!
ところで
　f(x)=r!(1-x)^(-r-1)
をx=0のまわりでテイラー展開すると
　f(x)=Σ[n=0～∞](n+r)!x^n/n!
なので，
　E(n)=r(1/6)^r/r!f(5/6)=6r

分散はV(n)=E(n^2)-E(n)^2ですが，E(n^2)を上と同じように計算すると
　E(n^2)=r(1/6)^r/r!Σ[n=0～∞](n+r)(n+r)!(5/6)^n/n!
となりますが，
　(n+r)(n+r)!=(n+r+1)!-(n+r)!
なので
　g(x)=(r+1)!(1-x)^(-r-2)
のテイラー展開を考えれば
　E(n^2)=r(1/6)^r/r!{g(5/6)-f(5/6)}=36r^2+30r
よって，
　V(n)=30r

テイラー展開を使ってもいいのなら以上のような感じになるかと思います。