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期待値

1の目がr回出るまでサイコロを投げ続けるとき、投げる回数の確率分布と、平均、分散を求めよ。という問題を考えているのですが、その時の確率分布は求めることができたのですが、平均分散の計算の仕方がわかりません。どうか教えてください。また平均の答えは6r 分散は30rです。

みんなの回答

  • magmi-shi
  • ベストアンサー率40% (37/91)
回答No.1

確率分布はP(n)=[n-1]C[r-1](1/6)^r(5/6)^(n-r)ですよね。 期待値はE(n)=Σ[n=r~∞]nP(n)ですが,ここで  n[n-1]C[r-1]=r[n]C[r] を使って  E(n)=r(1/6)^rΣ[n=r~∞][n]C[r](5/6)^(n-r) となります。n-rをあらためてnとおくと  E(n)=r(1/6)^rΣ[n=0~∞][n+r]C[r](5/6)^n となり,[n+r]C[r]=(n+r)!/n!r!なので,1/r!を外に出して  E(n)=r(1/6)^r/r!Σ[n=0~∞](n+r)!(5/6)^n/n! ところで  f(x)=r!(1-x)^(-r-1) をx=0のまわりでテイラー展開すると  f(x)=Σ[n=0~∞](n+r)!x^n/n! なので,  E(n)=r(1/6)^r/r!f(5/6)=6r 分散はV(n)=E(n^2)-E(n)^2ですが,E(n^2)を上と同じように計算すると  E(n^2)=r(1/6)^r/r!Σ[n=0~∞](n+r)(n+r)!(5/6)^n/n! となりますが,  (n+r)(n+r)!=(n+r+1)!-(n+r)! なので  g(x)=(r+1)!(1-x)^(-r-2) のテイラー展開を考えれば  E(n^2)=r(1/6)^r/r!{g(5/6)-f(5/6)}=36r^2+30r よって,  V(n)=30r テイラー展開を使ってもいいのなら以上のような感じになるかと思います。

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