万有引力の法則の発見

質問

ニュートンはケプラーの法則と自身の運動の法則を組み合わせて
万有引力の法則F=GMm/r^2を導いたと聞いたことがあります。

では、ニュートンはどのような手順や数式でこの法則を導き出したのでしょうか？
分かる方がいらっしゃれば是非教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#40706 · ベストアンサー

ニュートンは　惑星が円運動（厳密には楕円ですが）をするのは、太陽が地球や他の惑星を引っ張っているからだと考えました。

円運動をさせる力はご存じのように向心力（遠心力の反対みたいなものですね）です。

向心力の大きさは

ｆ＝ｍ＊ｖ＾２／ｒ・・・・・・(1)

です。ｍ　質量、ｖ　速さ　ｒ　回転半径

一方　ケプラーの法則（第３法則）はＴ＾２とｒ＾３とは比例する、すなわち　Ｔ＾２＝ｋｒ＾３・・・(2)

と表せます。　　Ｔは惑星の公転周期、ｒは惑星の公転半径

この２つの式と、　Ｔ＝２＊３．１４ｒ／ｖ・・・(3)
（惑星が１周する時間をｒ、ｖであらわしたもの）

この(1)～(3)を組み合わせ、ＴとＶを消去すると

円運動をさせる力すなわち向心力ｆはｒの逆２乗に比例する式が導かれます。
ニュートンは　このように距離の逆２乗する力が、太陽ー惑星　　だけでなく　地球ー月　　地球ーりんご　などあらゆる物体の間に働いていると考えて　　万有引力と呼んだのです。

やや難しいですが、以下のサイトをみてください。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch04/newton/node3.html

難しすぎるようでしたら、万有引力で検索して　わかりやすそうなサイトをごらんください。

回答No.3

ryn

今風にやるなら，楕円の方程式
　r = a(1-e^2)/(1-e*cosθ)
の逆数を微分して云々とやれば出てきますが，
Newton の時代には微積分がありませんでした．
というより，これらの力学の問題を解くために
Newton, Leibniz らが微積分の基礎を作りました．

運動方程式には微分が入っているので，
> "ニュートンは"どのような手順や数式で
> この法則を導き出したのでしょうか？
のように「ニュートンは」という限定がつくなら
数式の変形で導いたという感じではありません．

実は，図形を使って微積分の問題を解いています．
というわけで，ここで説明するのはちょっと難しいので，
『プリンキピア』Newton 著
『古典力学の形成』山本義孝著(日本評論社)
あたりをご覧になってください．

ちなみに，Newton は
　円錐曲線運動⇒逆2乗則
という「順Newton問題」は解いたが，
　逆2乗則⇒円錐曲線運動
という「逆Newton問題」は解いてないのではないか，
と言われています．

回答No.2

noname#40706

Ａ１　です。

なかなかいいサイト見つかりませんね。

下のはどうでしょうか。

http://www.s-yamaga.jp/nanimono/uchu/tariyokeiriron-02.htm#逆2乗則の発見

この人は麻布中学高校　で地学を教えておられる方です。

いろんなことがのっており、勉強になります。

興味があったら万有引力以外もご覧ください。