中学校2次方程式の問題、２つの解からもとの方程式を求める方法は

質問

2次方程式X^2+ax+b=0の解が1と2であるとき、a,bの値を求めなさい。という中学校の2次方程式の問題で、一般にはx=1とx=2を代入してa,bの連立方程式で解きます。問題集の答えには、x=1,x=2が解である2次方程式は(x-1)(x-2)=0と表されるので展開するとx^2-3x+2=0となるので、a=-3,b=2である。となっていました。こちらの方が簡単ですが、この論理には飛躍（不十分な論術）があるような気がしますが、これでよいのでしょうか。

回答No.4

chiropy · ベストアンサー

私自身まだ高校生ですし、間違ったことを書いているかもしれませんので、他の方や学校の先生などの回答の方を参考にしてください。

>この論理には飛躍（不十分な論術）があるような気がします
これは確かにx^2-3x+2=0は題意を満たす解の一つではあるけれども、はたしてこれで全ての解を網羅しているのか？ということですね。
最終的にはこのやり方で問題ないと思います。

まずx=1,2を解に持つことから少なくとも(x-1)(x-2)は因数に持ちます。ここでこれ以外の解aも持つと仮定すると、(x-a)も因数に持つことになります。1,2,aの3解を持つ方程式はk(x-1)(x-2)(x-3)=0（kは実数）と三次方程式となってしまい、二次方程式であることに矛盾する。よってx=1,x=2が解である2次方程式はk(x-1)(x-2)=0と表される。(mは実数)

因数の前に実数倍のkがついていること（この問題ではk=1）も忘れないで下さい。
x=1,2を解に持つ方程式は
(x-1)(x-2)=0
2(x-1)(x-2)=0
でもどちらでもいいわけですから。今回の場合xの二次の項の係数が1ですから問題ありませんが、もしxの二次の項の係数があれば最後にその係数倍してください。

補足

詳しい回答ありがとうございました。これですっきりしました。他のみなさんもありがとうございました。

回答No.5

sayakaslaw

中学生で２次関数のグラフを使ったかどうか覚えていないのですが、Ｙ＝x^2-3x+2のグラフを描いてみてください。グラフと式の関係がまた、回答の理論がわかると思うのですが。

お礼

グラフのことはよく分かりませんが、ていねいな回答をありがとうございました。

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

もしも、ご関心があれば……
高校の数学の範囲で「因数定理」というものを扱います。そこの範囲ではありますね、問題集の解き方は。

あと、別の話としては、２次方程式を解くときに因数分解で解きますよね。
そのときに、x^2 + ax + b = 0 なら、「足して a かけて b」になるものを探して、それを元に因数分解すると思いますが。手順としては、これを逆にしたものでもあります。
a は、解の和、b は、解の積。

お礼

回答ありがとうございました。因数定理、調べてみます。

回答No.2

Trick--o--

x = 2/3 , 5 の時

展開で求める
(x - 2/3)(x - 5)
= x^2 -5x -2x/3 + 10/3
= 3x^2 -(15+2)x + 10
= 3x^2 -17x + 10

連立方程式で求める
{ 4/9 + 2a/3 + b = 0
{ 25 + 5a + b = 0

{ 6a + 9b + 4 = 0
{ 5a + b + 25 = 0

{ 5a + 15b/2 + 10/3 = 0
{ 5a + 2b/2 + 75/3 = 0

{ 13b/2 - 65/3 = 0
{ 39b = 130
{ b = 130/39 = 10/3

{ 6a + 90/3 + 4 = 0
{ 6a + 34 = 0
{ a = -34/6 = -17/3

x^2 - 17x/3 + 10/3 = 0
3x^2 - 17x + 10 = 0

まぁ、結果は同じだね。

で、だ
問題集のやり方ではどこが不満なのか、じっくり考えてみるといい。
先生にもその気持ちをぶつけてみると、面白い話が聞けるかもしれない。
聞けないかもしれない。

お礼

わかりました。ありがとうございました。

回答No.1

aruminium

お好きなほうでどうぞ

お礼

回答ありがとうございました。
どちらでもよいという結論ですね。
わかりました。