等角螺旋（らせん）の３次元的な数式表現

質問

等角螺旋（らせん）の数式表現について教えてください

ひょんなことから等角螺旋形状のモデリングらしきことをすることになったのですが、
これの３次元的な表現方法がよくわかりません。
例えば、牛や羊の角は３次元の等角螺旋構造ではないかと思うのですが、
これを球座標表現、ひいてはxy座標で表現する場合、どのような数式であらわせるのでしょうか？

２次元平面内での表現は 極座標だと
　r = exp(θ)
このとき、螺旋上の点(x,y)は
x = r*cosθ
　y = r*sinθ

とあらわせると思うのですが、
これを３次元空間内で表現する方法がよくわかりません

ご教授いただければ幸いです
よろしくお願いします

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

「螺旋」には、大別して２種類あります。２次元平面曲線の渦巻き模様であるspiralと、３次元空間曲線であってねじ山のようなhelixです。等角螺旋はspiralの方。描きたいと仰っているのはどうもhelixの方ですから、話が食い違っています。よく「等角らせんは、オウム貝やかたつむり などの殻，ヤギの角などの形」と説明されるのは、モノを２次元図形と見たときの大雑把な話ですから、そのまんま真に受けちゃいけません。

　spirialが等角であるということを２次元極座標(r,θ)で書けば、
dr/dθ= aθ
つまり、仰る通り
r(θ) = exp(aθ)
です。（aは巻きの強さを変える係数です。）
　これを、例えばタニシやでんでん虫やツノの形に立体化するにはどうするか。
　まずは、円筒座標(r,θ,z)を考えると便利そうです。（３次元の極座標じゃだめです。）z軸の方向が螺旋の「軸」になるわけですね。直交座標(x,y,z)に直すにはもちろん、
x = r cosθ
y = r sinθ
とすれば良い。
　さて、θを決めて断面を考える（つまりz軸を含む平面でタニシを切る）と、タニシの「身」が入ってる部分の断面がいっぱい現れますが、どれも相似形をしているでしょう。すると、タニシの「身」が入ってる部分の断面のr方向の寸法は、helixを一周したときのrの増分
r(θ+2π) - r(θ)
に比例すると考えられます。ということは、helixは一周する間に,
タニシの「身」が入ってる部分の断面のz方向の寸法のぶんだけz軸方向にずれていなくてはいけません。ですから、
z = b r(θ)
にしとけば大丈夫です。てことはz = b rですから、このhelixは円錐面の上に存在することがわかります。また、このhelixは、r,zを共に同じ倍率で大きくしたとき、元のhelixと同じである（自己相似）という性質を持っています。

　もちろん、これだけではタニシの「身」が入ってる部分の「中心線」になっているhelixを描いただけですから、この周りにカラを作ってやらなくちゃいけません。
　ここまでのr, zはhelix上の点の座標の意味でしたが、ここからはカラの表面上の点、という意味で使います。

　θ=0におけるカラの断面形状（z軸を通る平面で切った形状）を媒介変数tを使って表した平面曲線
r=f(t)
z=g(t)
で与えたとします。（例えば円形にするならf(t)= A cos t + 1, g(t)=A sin t + b、ここにAは半径。1とbが出て来たのは、helix上の点(1,0,b)を中心とする円にしたからです。）そうすると、角度θにおける断面形状のサイズはexp(aθ)に比例しているわけだから、媒介変数tとθを使って、
r(θ,t)= f(t)exp(aθ)
z(θ,t) = b g(t)exp(aθ)
と表せます。
　カラの断面の大きさを小さくすれば角のようになるし、大きくすればタニシになる。b=0ならアンモン貝の形です。aを小さくするとぐるぐる巻きに、大きくすると鳥の爪のように、と言う風に、いろんな形が作れますね。

お礼

投稿に長い間気づかず、回答遅くなってすいません。
大変丁寧なご説明をいただきありがとうございました。

ご説明の通りに数式を設定して、
なんとか所望の空間図形を得ることができました。

大変助かりました。どうもありがとうございました

回答No.3

neKo_deux

> ところで、極座標導入時の数式なのですが

極座標を取り入れると、直線の定義が難しくなるような？
式は、らせんの中心を原点に取った場合のように見えます。

> あっているでしょうか？

プロットするか、数点検算すると確認できるかと。
この式ではaとαの定義が不明なので加減がわかりませんが、らせんっぽい特徴はあります。
等角らせんか？っていうと、No.1のようなプロットに比べて発散しすぎの気も。

回答No.2

neKo_deux

> 等角螺旋ってのはちとわかりませんが。

こちらは、辞書などにも「等角螺旋」って定義が無いので、何の角度を等しくしたいのか？不明瞭って事です。

No.1では、螺旋を円錐と見なした際の、母線の角度は一定ですが。
巻貝みたいに。

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> また、球座標で φ を導入して表現する必要が
> あるような気がするのですが、
> そうすると元の θ はどう扱うのか・・・

球座標(極座標?)でφを導入しないと、平面になります。

蚊取り線香みたいな平面図形も螺旋です。
No.1は巻貝ですが、朝顔の弦みたいな円筒状の螺旋もあるし。

補足

等角らせんとは、らせんの中心点とらせん上の任意の点とを結ぶ直線がその点での接線となす角度が常に等しくなるらせんをいうようです。
英語ではequiangle spiralとよばれ、
対数らせん logarithmic spiralとか　ベルヌーイのらせんとも呼ばれているようです。
下記ページに概要が書いてありました。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2607/SPR/SprlAB.htm

ところで、極座標導入時の数式なのですが
　r=a*exp(θ*cotα)　として
x = r*cosφ*cosθ
y = r*cosφ*sinθ
z = r*sinφ

とするのであっているでしょうか？
らせん中心からの距離rはθをつかって表現されるので
徐々に大きくなるらせんっぽい式ですが
上記のような数式で表される３次元空間内での点(x,y,z)において、
上記の「等角条件」は満足されるのでしょうか？
それとも３次元的な等角らせん（接平面の角度が一定？）自体が存在しないのでしょうか？

回答No.1

neKo_deux

> x = r*cosθ
> y = r*sinθ

に、

z = θ

なんかの条件をつけると、とりあえずの螺旋になります。
等角螺旋ってのはちとわかりませんが。

補足

ご回答ありがとうございます。

ただ、形状としてきちんと等角螺旋にしたいので、
上記の例が「とりあえずの」螺旋だと
ちょっと良くないです。

また、球座標で φ を導入して表現する必要が
あるような気がするのですが、
そうすると元の θ はどう扱うのか・・・
という感じで悩んでおります。

なにか良いアドバイスがあればお願いいたします。