混乱している頭の中の上限と下限について

質問

{x∈Q;x^2≦5}　の上限と下限
は５と０なのでしょうか。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

単純に x^2 <= 5 をとけば，

-(ルート5) <= x <= ルート5

です．
まず，上限・下限が存在するかですが，
上限（もしくは下限）の存在が保証されるのは
実数の範囲で考えるときのみです．

したがって，

(1) 実数の範囲で考えるならば
上限は ルート5，下限は -(ルート5) です
任意の無理数に対して，それにいくらでも近い
有理数が存在することに注意です．

ルート5とかは有理数ではないとかいう人が
でてくるかもしれませんが，
そういう人は上限と下限の定義を見直してください
実数の部分集合の上限もしくは下限は
その部分集合の要素とは限りません
＃簡単な例としては 0<x<1 の上限は1，下限は0
＃しかしこれらは 0<x<1 の要素ではない．

(2) 実数の範囲ではなく，例えば有理数の範囲で
考えるというならば・・・・
上限も下限も存在しないということになります．

(3) もっと特殊な条件があるならばそれが必須です

お礼

条件は(１)でした。

x^2-5≦0のグラフを考えたら、分かってきました。

なんとなく癖で上限や下限といっても

最大値最小値のｙの値の感覚が抜けなかったのです。

最大元や最小元だと、また範囲が変わるし、

悩ましいです。

長くてすみません。

明瞭な回答をありがとうございます。

大変参考になりました。

回答No.3

Tacosan

何かある全体集合があって, その部分集合である { x ∈ Q; x^2 ≦ 5 } に対して上限や下限を求めろってことなんですよね? 全体集合が何かを明示した方が, 問題として安全なんだけどなぁ. 「Q を全体集合として」なのかなぁ? 何か書いてありませんか?

回答No.2

leo-ultra

あ、そうか、Ｑって有理数か。それで上限。

質問者がどの程度理解されているか、わかりませんが、もうちょっとヒント

ヒント
ｘ^2≦5を満たすのは、X=0、√5、-√5、2、-2...
いろいろある。その中の最大っていったら、√...だし。でも√はＱに含まれないし。
だけど上限ってなんでしたっけ。

回答No.1

CHIPDALE77

Ｑは有理数の意：Ｘは有理数
Ｘの２乗が５以下：Ｘはルート・・・
（あとは自力でガンバ！）