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極限値
ずばり、lim[m→∞]m*r^mはいくつになりますか？ |r|>1の時は簡単ですが…。過程もお願いします。参考書とかにのっていなくて…。追い出しとか、はさみうちとかどうも馴染めないんですよね…。何か良い対策があれば教えてください。ちなみに課題やレポートではないですが、チョット失礼かもしれないので、ヒントだけとかでもかまわないです(^^)よろしくお願いします。
- samidare01
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1 < |r| の場合だけでいいですよね？ X_n = n * r ^ n と置きます。 とりあえず、一個前と割り算して項目間の比 R_n を計算してみましょう。 R_n = X_n / X_{n-1} = ( n * r ^ n ) / ( (n-1) * r ^ (n-1) ) = n/(n-1) * r ですよね。 R_n に、１０、１００、１０００を入れて、みてください。 だんだん、R_n が小さくなると思います。 r が、１未満のどんなに大きな数でも、R_n は n が大きいと１未満に なってしまいます。 このような n があることが、分かればもうすぐです。 その n から先は、等比数列で押さえられますので、０に収束する事が示せます。 r に対して、どんな n だと、R_n が１未満になるかとか、 どんな等比数列で押さえればいいかは、ちょっと考えてみるといいと思います。 一応、結論は、０になります。
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- mangou-kutta
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肝心なところのヒントだけ 0<r<1のときだけ答えます(残りは簡単) このとき r=1/(1+α)と表される(α>0) よって m*r^m＝m/(1+α)^m ＜m/(1+mC1α+mC2α^2) ＜m/(mC2α^2) ＜2/((m-1)*α^2) 辺々m→∞の極限をとって(<が≦に変ることに注意) lim[m→∞]m*r^m≦0 左辺は0以上より lim[m→∞]m*r^m＝0 他の場合は自分でやってください
- gyamboi
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mとr^mがそれぞれどのようなグラフになるか 考えてみてください。そうすればすぐに答えはわかります。
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補足
ありがとうございます。lim[n→∞]Rn=r<1となることで、直感的には０に収束する事がわかったのですが、ドンナ等比数列で抑えるかわかりません…もう一つヒントを下さい。n<1/(1-r)でR_n が１未満という事もわかりましたが…