イジング模型の臨界指数：比熱

質問

イジング模型での比熱の臨界指数α（　|T-Tc|^-α　）
は０であると参考書に書いてあります。（相転移、臨界現象の統計物理学：培風館、西森秀稔著）

確かに系の分配関数よりエネルギーを求めて比熱を求めるときに

磁化　ｍ＝{3(Tc-T)/Tc}　…(1)

としてやればこの値は得られます。

しかし上のｍは本来
m＝tanh[βJzm]（平均場のself-consistent方程式）
をm=0(T～Tc)付近で展開し得られた

ｍ＝｛3*T^2Tc^-3*(Tc-T)｝^1/2　…(2)

を　T～Tcより(T/Tc)～1　として得られたものです。

問題は(1)と(2)のｍを用いるのでは比熱の関数形が変わってしまうことです。

(1)ではC = 3k (k:ボルツマン定数)　：α＝０

(2)ではC = 3kT(2T-Tc)/Tc^2　 ：　α＝-1(?)

となります。

(2)のほうが最初の　T～Tcより(T/Tc)～1　を考慮せずに正確に式を扱った結果ですので正しいと思うんですが、いかがでしょうか…よろしくお願いします。

ちなみに(2)だとT<Tcで比熱が負になります…汗
おかしいとは思うんですがこのやり方のどこがまずいのか、ご教授いただければ幸いです汗

回答No.2

atomicmolecule · ベストアンサー

m=tanh(m/T)..........（１）

を満たすmを求めた時にどういう近似をしているか考えて見ましょう。まず、行き当たりばったりですが、mは小さいとしてtanhを展開して非自明な解が得られるｍの３乗までのテイラー展開で答えをみつけました。
答えは

m0=T√3(1-T/Tc), Tc=1 です。

ところでこの答えを（１）に入れて戻してやっても、当然のことながらm0≠tanh(m0/T)です。いったい何をやっているのでしょうか？　私の理解では（１）が成立するのはm0が小さいとき、すなわちT/Tc≒1の時です。その時に近似的にm0≒tanh(m0/T)　のつもりですね？　ところが tanh(m0/T)≒(m0/T)なので

m0≒m0/T

にならなければいけませんね。これはＴ≒Tcを考慮すればm0≒m0 でめでたく、矛盾がありません。

つまり何がいいたいかというとＴ≒Tcを使わなければm=tanh(m/T)は満たされません。それならばｍの表式はm0=T√3(1-T/Tc)でも m0=Tc√3(1-T/Tc) もどっちでも良いわけです。

さてこの方法を系統的に行なうにはm0=√3Δtを近似的解のスタートにしましょう。ここでΔt=1-T（簡単のためにTc=1を代入した表式で議論します。）そして（１）の答えを

m=√(3Δt) ×(1+a1 Δt + a2Δt^2 + a3 Δt^3+....)

と仮定します。この表式を代入してΔtの冪を比較して
m=tanh(m/(1-Δt))を成立させるようにa1,a2,a3などを次々選んでゆけばどんどん正確なmに近づく事でしょう。つまりa1まで正しく計算して、a1=1となれば

m=√(3Δt) ×(1+Δt+...)≒√(3Δt) ×(1+Δt)
≒√(3Δt)×T となり kyongsokさんがいう正確な答えがでるはずですね。つまりkyongsokさんはそこまでやって初めて問題の違いを議論できるわけです（どうもa1＝１にはならないようですが）。a1まで求めてない段階ではm≒√(3Δt)の近似以上のことは言えません。

そしてm=√(3Δt)を使うかm=√3Δt(1-Δt)=√3Δt×Ｔ
を使うかはT≒1の近似の最低次の範囲では議論できません。つまり答えが違うといっているのは

C=(3k/2)*T/Tc*(3T/Tc - 2)
=(3k/2)*(1-Δt)*(3(1-Δt) - 2)
=(3k/2)*(1-Δt)*(1-3Δt)
≒(3k/2)+O(Δｔ)

なので、矛盾内容におもえますが。

=(3k/2)*T*(3T-2Tc)/Tc^2

お礼

なるほど…そういうｍの展開の仕方があったんですか…
ｍはＴ～Tcで一階微分が無限大に近づくのでどう展開していいのかわからずじまいでした汗

というか(2)のＣの式の中身を全然考えていませんでした…普通に3k/2に近づいていきますね汗

己のバカさをまたしても痛感させられました、
atomicmolecule先生、ありがとうございます！

回答No.3

atomicmolecule

因みにm=tanh(m/T)の解をTごとに数値的にもとめグラフにプロットした図と次のテイラー展開の表式は殆ど一致します。

m=[3(1-t)]^(1/2)×(1-12δt/30)

δt=1-tです。δtの一次までテイラー展開で解きました。これで 0≦t≦1の範囲ならばっちりです。とはいってもこれは単なる遊びです。2次元のイジング模型での平均場近似は実際にはあまり良くないですし、臨界指数も厳密解と比べるとかなりずれています。だからあまり細かい事に拘らずに、相転移の一つの現象論として大雑把に勉強してもっとましな近似なり繰り込み群などの方面へと進んでいった方がいいんでしょうね。因みに先生といわれるとやりづらいのでやめて欲しいんですが、kyongsok先生にいい辛くてこまっています（笑）。

お礼

了解です、先生はなしでいきます笑

今回の質問を通じての理解は

(1)粗い近似式を詳しく追うより先にもっと相転移の全体像をつかむ。

(2)微係数が発散してf(t)がテイラー展開出来ないときはf(t)=g(Δt)*s(t)と書き換えてs(t)を展開すれば何次の近似かは見れる。

(3)求めた式についてちゃんと解析する。汗

です。毎回大変勉強になります。ありがとうございます！

回答No.1

atomicmolecule

昔に勉強して殆どわすれているのであまり自信がありませんが、以下のことを確認して見たらどうでしょう。

先ず、二つの磁化はＴｃより上と下での表式なのでしょうか？そうとして話をすすめると

（１）Ｔの領域,T>Tc かT<Tc　でm(T)の表式を区別して使っていますか？　

（２）比熱はギブスの自由エネルギーにm(T)を代入して C = -T d^2G/dT^2　としていますか？

Tcを境に比熱の表式が異なるのは良いとしても,負はありえないと思います。いや、そうなったら系は不安定という事なのかもしれません。

次に、取り合えず（１）式と（２）式は冪が違いますが記述間違いで、（１）式の冪１/2が抜けているとしましょう。
すると（１）と（２）で答えが違うかもしれませんが、それはT-Tcのテイラー展開を高次までやってないから違うのは当然として、本当に答えが等しくなる冪まで正しく近似しているかどうかが問題になるでしょう。ｍの表式からみるとＴ－Ｔｃの周りで展開した表式が（１）ですが、（２）は平均場近似から直接得られたといっていますが、T-Tcの冪展開は高次まで全て正しく入っていると思っていいのでしょうか？つまり
m=tanh(β(m+h))　
をどういう近似の範囲内で解いたかもう一度考えてみたらどうでしょう。どちらにせよ臨海指数はＴ=Tcでの主要項で決まっていますから、同じになると思いますが・・・・

ところで私が持つ文献では臨界指数αはT>Tcで定義されているようです。よって臨界点より下の表式は使わないみたいです。確認してください。

補足

返信遅れて申し訳ありません、atomicmolecule先生、またしてもご回答ありがとうございます！

う…(1)式の1/2べきが抜けておりました…大変ご迷惑おかけしました汗

計算が少し間違っていたようですので訂正いたします。
(1)はC=3/2*k
(2)はC=(3k/2)*T*(3T-2Tc)/Tc^2
となります。もっとややこしくなりました…しかし自分の疑問の本質は変わっていません。

私の主張は(2)を近似した式が(1)なのに、(1)の結果が採用されているのはおかしいのではないか？(2)を使うべきではないか？という事でした。

以下に自分の計算経過を示します。

m=tanh(β(m+h))でh=0としm=0付近(T～Tc)で展開し(2)を得て
さらにT～Tc近似をもちいて(1)を得ました。
このself-consistent方程式がT＜Tcでしか解がないので
上のｍはｍ(T<Tc)です。（それも明記しておくべきでした汗）

（※ご存知だとは思いますが一応書いておきます。
T>Tcではm=0なので平均場のハミルトニアン
H=NB*J*m^2-JmzΣSi (ここでNB:系のスピン対総数、Z:最近接格子数)
＝０となり比熱も０になってしまいます。なのでT>Tcでα＝０は成り立ちます。T<Tcでも(1)を用いれば一定値(C=)に近づくのでα=0だと書いてあります。ただし比熱は不連続になります。）

比熱は粒子当たりエネルギー密度ε＝d(βｆ)/dβに
(1),(2)のm=m(T)を代入し温度で微分しました。C = -T d^2G/dT^2と同じ結果になると思いますが比熱も一粒子当たりのものです。（ここでε＝Ｅ／Ｎ、ｆ＝Ｆ／Ｎです。）