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複素数のn乗根の問題です

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お礼率 86% (456/526)

半径1の円に内接する正n角形A[1]A[2]・・・・・・A[n-1]A[n]がある。線分の長さの積について、

A[1]A[2] ×A[1]A[3]×・・・・・・・・×A[1]A[n] = n

が成り立つことを示せ。

という問題なのですが、どうやって示せば良いのか分かりません。よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

複素数平面上で0を中心として半径1
の円周上に1をA[1]として半時計周りに順に
A[2],A[3],・・・,A[n]とする。
A[2],A[3],・・・,A[n]の表す複素数はみんな1のn乗根
(1以外)なので
  z^n=1の解
  (z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)+・・・+z+1)=0
  z^(n-1)+z^(n-1)+・・・+z+1=0
  を満たす。
  この解はz,z^2,z^3,・・・,z^(n-1)
とおける。
 これらを解とするxの方程式は
x^(n-1)+x^(n-1)+・・・+x+1=0
であり,また
(x-z)(x-z^2)(x-z^3)・・・(x-z^(n-1))=0
の解でもあるので、2つの方程式の左辺は同じ式
両方にx=1を代入して
(1-z)(1-z^2)(1-z^3)・・・(1-z^(n-1))=n
両辺の複素数の絶対値を取ると
|1-z||1-z^2||1-z^3|・・・|1-z^(n-1)|=n
これは
A[1]A[2] ×A[1]A[3]×・・・・・・・・×A[1]A[n] = n
を表す。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>これらを解とするxの方程式は
x^(n-1)+x^(n-1)+・・・+x+1=0
であり,また
(x-z)(x-z^2)(x-z^3)・・・(x-z^(n-1))=0
の解でもあるので、2つの方程式の左辺は同じ式
両方にx=1を代入して

nanjamonjaさんお返事どうもありがとうございます。ここでなぜ「両方にx=1を代入して」になるのかがよく分からないのですが、これは問題文の条件から出てきたものなのでしょうか。どうしてx=1を代入できるのかよく分かりません。すいません、もう一度お答えいただけるでしょうか。
投稿日時 - 2002-02-20 06:34:13
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  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 36% (27/73)

正N角形として考えます. 円の中心と線分を結んでできる三角形について正弦定理を用いると,各線分は, A[1]A[n]=2r Sin(2nπ/N) 円の半径はr=1ですから A[1]A[n]=2r Sin(2nπ/N) です. これより線分の積は A[1]A[2]・A[1]A[3]・...・A[1]A[n] =Π(n=1,N-1)(2 Sin(2nπ/N)) Π(n=1,N-1)(Si ...続きを読む
正N角形として考えます.
円の中心と線分を結んでできる三角形について正弦定理を用いると,各線分は,
A[1]A[n]=2r Sin(2nπ/N)
円の半径はr=1ですから
A[1]A[n]=2r Sin(2nπ/N)
です.
これより線分の積は
A[1]A[2]・A[1]A[3]・...・A[1]A[n]
=Π(n=1,N-1)(2 Sin(2nπ/N))

Π(n=1,N-1)(Sin(2nπ/N))=N/(2^(N-1))...(岩波数学公式IIより)
なので答えはN.
(公式を使ったんじゃダメなのでしょうね... ^^;)
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

tkfmさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。そのような解法もあるんですね。感動しました。あまりΠ等の記号は使い慣れていないので、実際にできるかどうか分かりませんが。シグマの掛け算バージョンだってことしか知らないので・・・・。
投稿日時 - 2002-02-20 06:27:21


  • 回答No.3
レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

x^(n-1)+x^(n-1)+・・・+x+1=0 の2項目はx^(n-2)でした訂正します。 つぎにご質問の返答ですが x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+x+1 =(x-z)(x-z^2)(x-z^3)・・・(x-z^(n-1)) でxについて恒等式なので、xに何を代入しても 成り立つので、x=1が代入できます。 ...続きを読む
x^(n-1)+x^(n-1)+・・・+x+1=0
の2項目はx^(n-2)でした訂正します。
つぎにご質問の返答ですが
x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+x+1
=(x-z)(x-z^2)(x-z^3)・・・(x-z^(n-1))
でxについて恒等式なので、xに何を代入しても
成り立つので、x=1が代入できます。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

nanjamonjaさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、恒等式だからxに何を入れても良いんですね。大変よく分かりました。まえにあやふやだったところもnanjamonjaさんの説明のおかげではっきりと理解することができて良かったです。どうもありがとうございます。
投稿日時 - 2002-02-20 17:36:59
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