固有値の安定性について

質問

只今、ディレイド・ロジスティック　マップといって
X(n+1)=Y(n)　,　Y(n+1)=a*Y(n)*(1-X(n))
という差分方程式について、まずは１周期点を
X=Y , Y=3*Y*(1-X)
の連立方程式を解いて、O=(0,0) C=((a-1)/a,(a-1)/a)が求められ、この２点Ｏ，Ｃについて固有値λを求めると(a=3とした時)
Ｏについて：λ=0 ,λ=3
Ｃについて：λ=(1±√7i)/2 が求められました。

ココまで求めてみたのですが、固有値の絶対値が１より大きい時不安定、小さい時安定と判別できるようです。
どうして、その判別が出来るのかがわかっておりません。どうかその理由をご回答お願いいたします。

またそれに加え「安定性」について考えておりましたが、固有値の安定性とは何なのかも今いちよく分かっておりません。簡単な例などと一緒にご回答いただけたらとおもいます。どうかよろしくお願い致します。

回答No.1

chirubou · ベストアンサー

もうはるか昔のことなのでほとんど忘れてしまってますが、お役に立てばという気持ちだけで回答します。さらに「ディレイド・ロジスティック　マップ」が何かを調べるとか、ご質問の式を解く程の元気もありませんので、以下すべてただの直感です。

固有値が出てくるということは、方程式が行列で表現されているわけですよね。固有値の定義は、ある行列の左と右（からある行列（右は左の逆行列）を掛けると、対角行列になってそのそれぞれ対角要素の値が固有値ですよね。

多分、行列方程式にも同じように正則変換（だったっけ？）を施すと、固有値の意味が見えてくるようになると思います。その時、固有値が１より大きいと結果は発散し、１より小さいとある値に収束することが分かるのではないでしょうか。

ということで「固有値の安定性」というのは正しい表現ではなく、固有値をみればその系の挙動（安定／不安定）が分かる、のではないでしょうか。

お礼

ご解答いただきまして誠にありがとうございました。大変助かりました。

回答No.2

Tacosan

やりたいことは, 「1周期点 (= 不動点) の安定性が固有値 (の絶対値) でわかる」ってことじゃない? そうだとすると, 「n ステップ後の不動点からの差が固有値の n乗になる」ってことがわかればいいんだよなぁ.

お礼

ご解答いただきまして誠にありがとうございました。大変助かりました。