領域の簡単な問題

質問

領域の簡単な問題ですが、分からないので教えてください。

x^2+y^2<25, y≦3x-5の表す領域を求めよ。
連立して共通範囲を求めれば答えはすぐ出ます。ただし境界線が少し問題です。模範解答には「境界線は直線を含み、円周および"直線と円の交点"は含まない」となりますが、なぜ"直線と円の交点"を含まないかが分かりません。
円を基準に考えれば含まないし、直線を基準に考えれば含みますよね。「含むと含まないなら、含まないが優先」というルールでもあるのでしょうか。もしそうだとしたら、その理屈を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.4

freedom560 · ベストアンサー

理由は他の方が答えられている通りですが、どうしてもわからない場合は実際の点を考えてみるとわかりやすいですよ！

x^2+y^2<25・・(1), y≦3x-5・・(2)とします。

まず、境界線上の直線上の点と円周上の点を考えます。
直線上の点の例(1,-2) の場合
(1)：x^2+y^2=5<25
(2)：3x-5=-2
より、(1)も(2)も成り立ちますね？
だから、直線上の点は解として含みます。

円周上の点の例(1,-2√6) の場合
(1)：x^2+y^2=25
(2)：3x-5=-2>-2√6
より、(2)は成り立ちますが、(1)は成り立ちませんよね？
ここで、「共通範囲」とは「両方の式が成り立つ領域」のことなので、円周上の点は解として含まないことがわかります。

次に、交点を考えます。交点は(0,-5),(3,4)です。

(0,-5)
(1)：x^2+y^2=25
(2)：3x-5=-5
より、(2)は成り立ちますが、(1)は成り立ちません。

(3,4)
(1)：x^2+y^2=25
(2)：3x-5=4
より、(2)は成り立ちますが、(1)は成り立ちません。

つまり、円周上の点の場合と全く同様に、(2)は成り立ちますが、(1)は成り立たないので交点は解として含まないのです。

回答No.3

pc_knight

こういうことではないでしょうか。
x^2+y^2<25なる領域には、「<25」ですから境界線の円周は含まれませんね。
因みに、もしx^2+y^2≦25なら領域には境界線の円周も含みますよね。
その違いはお分かりいただけるでしょう！！。
同様に「≦」が含まれる直線の式「y≦3x-5」の方は境界線を含みます。

回答No.2

neko3839

>円を基準に考えれば含まないし、直線を基準に考えれば含みますよね。
この問題の文章は、どちらか片方だけに含まれる領域ではなくて、両方に含まれる領域を求める問題と解釈できるからです。

回答No.1

pyon1956

＞なぜ"直線と円の交点"を含まないかが分かりません

お答えします。連立不等式の解の領域とは各連立方程式の解の集合の共通部分を求めよ、ということだからです。
つまり、それぞれの不等式の解の集合があって、その両方に入っているものの集合は？と言う問題だからです。この場合交点は後の不等式の解ですが先の不等式の解ではないのでだめ、ということですね。